有序集的一般归纳原理和连续归纳法

FARSPACEMAN

LBSALE[32768]LBSALE[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/07 11:07pm 第 1 次编辑]

tnjian

太贵了　连续归纳法　好像是张景中提出来的.用来代替完备公理.

FARSPACEMAN

下面引用由tnjian在 2009/10/07 05:42pm 发表的内容：
太贵了　连续归纳法　好像是张景中提出来的.用来代替完备公理.

嗯，是张景中院士的工作。连续归纳原理作为刻画实数连续性的基本定理，和诸多的基本定理等价，可以代替戴德金公理。我觉得非常有必要讨论这个连续归纳原理，它的价值到底怎么样，有没有必要把它写进数学分析的教材。

tnjian

从认识论的考虑来看,从自然数的归纳法,过渡到连续的归纳法,认识起来比较简单.
不过,我更赞成使用最小确界原理,让学生熟悉确界的表达式和不等式.
上下确界是数学中三大结构之一序结构的主要内容,可以用来研究积分,布尔代数,格论.等等

FARSPACEMAN

下面引用由tnjian在 2009/10/07 06:24pm 发表的内容：
从认识论的考虑来看,从自然数的归纳法,过渡到连续的归纳法,认识起来比较简单.
不过,我更赞成使用最小确界原理,让学生熟悉确界的表达式和不等式.
上下确界是数学中三大结构之一序结构的主要内容,可以用来研究积分 ...

我用的数学分析教材，里面有一节专门讲实数连续性的基本定理的，包括区间套定理，有限覆盖定理，压缩映像原理等等。。我觉得对于那些层次比较高的学生，应该熟悉各种实数连续性的基本定理。这些定理各有各的优点。

wanwna

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/07 06:34pm 发表的内容：
我用的数学分析教材，里面有一节专门讲实数连续性的基本定理的，包括区间套定理，有限覆盖定理，压缩映像原理等等。。我觉得对于那些层次比较高的学生，应该熟悉各种实数连续性的基本定理。这些定理各有各的优点。

学习数学分析，这些定理是必须要掌握的。

tnjian

区间套定理可以推广到完备度量空间,有限覆盖定理是紧空间的特征,我倒是觉的,掌握这些等价定理的其中一个就可以了,因为到了学拓扑学的时候,会在更高的层次上学习,现在花太多精力注意细节划不来.
微积分的核心　其实就是微分学,积分学两大块,特别是积分的证明和运算才是重点.

FARSPACEMAN

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/07 05:13pm 发表的内容：
(保密帖子)

关于连续归纳原理，我尝试使用它来做问题，觉得非常好用。
用上它的地方，几乎都是统一的模式下解决的。
并且它身后有深刻的背景——一般归纳原理

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/07 06:48pm 第 2 次编辑]

下面引用由tnjian在 2009/10/07 06:42pm 发表的内容：
微积分的核心　其实就是微分学,积分学两大块

数学分析和高等数学的很大区别在于数学分析更强调“分析”，微积分的基础的基础——实数理论的这些定理在高等数学里是不怎么讲的。
或者说，高等数学讲“怎么做微积分”，数学分析还要讲“为什么可以这样做微积分”。
  

FARSPACEMAN

连续归纳原理是被“漏掉”的基本定理，在上世纪80年代才被发现。
我以为很有必要讨论它。