【趣题征解】证明：当 n 是正整数时，11^n+8^n-6^n-3^n 必定能被 10 整除。

luyuanhong

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【趣题征解】证明：当 n 是正整数时，11^n+8^n-6^n-3^n 必定能被 10 整除。

FARSPACEMAN

下面引用由luyuanhong在 2009/10/19 10:10pm 发表的内容：

【趣题征解】证明：当 n 是正整数时，11^n+8^n-6^n-3^n 必定能被 10 整除。

易知11^n+8^n-6^n-3^n是偶数，因此只需证明11^n+8^n-6^n-3^n能被5整除。
在mod 5下，
11^n+8^n-6^n-3^n
同余于1^n+(-2)^n+(-1)^n+(2)^n
等于[1^n+(-1)^n]+[2^n+(-2)^n]
等于0
所以11^n+8^n-6^n-3^n能被5整除。故原命题成立。

moranhuishou

尾数:恒有11n-6n=1-6=-5 (mod 10)
尾数 8n-3n成如下循环：
8-3=5  （mod 10）
4-9=-5  （mod 10）
2-7=-5  （mod 10）
6-1=5  （mod 10）
8-3=5  （mod 10）
...
所以...

大傻8888888

下面引用由luyuanhong在 2009/10/19 10:10pm 发表的内容：
【趣题征解】证明：当 n 是正整数时，11^n+8^n-6^n-3^n 必定能被 10 整除。

此题证明如下；
11^n+8^n-6^n-3^n=（11^n-6^n）+（8^n-3^n）=5[11^(n-1)±6nx]+5[8ny±3^(n-1)]
=5{8ny±6nx+(11^(n-1)±3^(n-1)]
∵(11^(n-1)±3^(n-1)是偶数
∴11^n+8^n-6^n-3^n 必定能被 10 整除。

kanyikan

注意到以下事实：a^n-b^n必有因子(a-b),
若n是奇数，a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)-a^(n-2)b+a(n-3)b^2-...-b^(n-1))
若n是偶数（n=2p），a^n-b^n=(a^p-b^p)(a^p+b^p)
再对(a^p-b^p)进行处理，总能达到a^m-b^m,其中m是奇数。
11^n+8^n-6^n-3^n＝（11^n-6^n）+（8^n-3^n）能被5整除，
又11^n+8^n-6^n-3^n是偶数，所以能被10整除。

luyuanhong

楼上 FARSPACEMAN，moranhuishou，大傻8888888，kanyikan 的证明，可以说各有千秋，争奇斗艳，都很精彩！