有限点集拓扑的个数

lethe1

对于一个有限点集，其上的拓扑的种数是有限的。那么谁能给出拓扑个数和点数的关系？
比如单点集只有2种拓扑，空集全集的trivial情形，和空集全集单点集的拓扑
2点集有4个
3点集有很多很多。。。

elimqiu

每个拓扑被其开集所决定。对于有限集，你的问题等价于有限集的分拆问题：将有限集合分成互不相交的非空子集的分法数目。
考虑到同胚的分法从拓扑的角度没有区别，这个问题的拓扑意义上的回答应该是正整数的分拆个数：将正整数n写成 n = m1+m2+...+mk，｛ 其中mi > 0,  mi >= m(i+1), k>=1 ｝有多少写法的问题。
具体见 http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%95%B4%E6%95%B8%E5%88%86%E6%8B%86[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
对不起，我的计算有误。 见第9楼的更正

elimqiu

下面引用由lethe1在 2009/10/29 06:09pm 发表的内容：
对于一个有限点集，其上的拓扑的种数是有限的。那么谁能给出拓扑个数和点数的关系？
比如单点集只有2种拓扑，空集全集的trivial情形，和空集全集单点集的拓扑
2点集有4个
3点集有很多很多。。。

你的计数有误。应该是：
单点集只有1种拓扑,2点集有2个,3点集有3个, 4点集有5个, 5点集有7个....
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
对不起，我的计算有误。 见第9楼的更正

fleurly

单点集的拓扑： {0, {a}}
两点集的拓扑： {0,{a,b}} {0,{a}, {b},{a,b}}
三点集的拓扑： {0,{a,b,c}}  {0,{a}, {b,c},{a,b,c}}, {0,{b}, {a,c},{a,b,c}},
{0,{c}, {a,b},{a,b,c}}, {0, {a,b,c}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}}

elimqiu

楼上三点集的拓扑的中间三个是彼此同胚的。
所以我说对于具体点集来说，它们彼此不同，但从拓扑分类来看，它们本质上是相同的。这就是为什么我说三点集有三种拓扑。

elimqiu

发现2楼的论断是错的。当然拓扑还是由开集决定。不过事情要比我开始想的更复杂。奇怪过去从未认真想过这个问题。看来这的确是个难题。似乎该从拓扑基的结构着眼。

lethe1

。。。。。。单点集那个真的是犯傻了。。。
2点集有3个（不考虑同胚有4个），不含{a},{b}，只含{a}，（只含{b}），含{a},{b}
3点集同胚意义下有9种，munkres上说的，没验证。。。
当时我们没考虑同胚。。现在感觉考虑同胚又是另一个问题。同胚不同胚似乎是两个不同的，而且不能轻易转化的计数问题

lethe1

ls很厉害么。。。我还以为这里只有民科

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/11/04 02:03am 第 2 次编辑]

用拓扑基来表示拓扑。有限集X的拓扑T具有唯一的最小拓扑基B，满足以下条件：
（1）B的元都是T的元（开集），而T的每个元都是B的元的并。
（2）若A1,...,Am ∈B，且 A1∪...∪Am ∈ B，则 A1∪...∪Am ∈ { A1,...,Am}
可以证明对有限集上的给定拓扑，满足上述条件的拓扑基是唯一存在的。于是就只能是最小的。这样，对有限集而言，拓扑就和最小拓扑基一一对应。以下就用最小拓扑基表示拓扑。
考虑3点集 {a,b,c}
(1) {{a},{b},{c}},
(2) {{a},{b,c}},{{b},{c,a}},{{c},{a,b}}
[color=#FF0000](3) {{a},{b},{b,c}},{{a},{c},{b,c}},{{b},{c},{a,c}},{{b},{a},{a,c}},{{c},{b},{a,b}},{{c},{a},{a,b}}
(4) {{a},{a,b},{c,a}},{{b},{b,c},{a,b}},{{c},{c,a},{b,c}}
(5) {{a},{a,b},{a,b,c}},{{a},{a,c},{a,b,c}},{{b},{b,c},{a,b,c}}, {{b},{a,b},{a,b,c}},{{c},{b,c},{a,b,c}},{{c},{a,c},{a,b,c}}
(6) {{a},{a,b,c}},{{b},{a,b,c}},{{c},{a,b,c}}
[color=#FF0000](7) {a,{b},{c}},{{a}.b.{c}}.{{a}.{b},c}
(8) {{a,b},{a,b,c}},{{b,c},{a,b,c}},{{c,a},{a,b,c}}
(9) {{a,b,c}}


我不知道有限点集的拓扑的具体应用。不过看来这是一个很难很有意思的领域。
设想如何可以机械地从两点集的拓扑得到三点集的拓扑！
看来没有一个算法，凭直觉枚举是很容易出错的。以上红字是后补的。

lethe1

一点孤立漏了{1},{1,2},{1,2,3}
还有一个{1},{1,2},{3}作为基的情况
munkres上的结论不会错的

查了一篇关于有限拓扑计数的硕士论文，居然只研究了几种特殊情况，最后连个计数的算法都给不出。。。