[趣题征解]单位球面上的一个不等式

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/01/24 00:15am 第 1 次编辑]

设 a > 0, b > 0, c > 0 且 a^2 + b^2 + c^2 = 1
求证  (1-b^2)/a + (1-c^2)b + (1-a^2)/c ≥ 2 √3

求证  (1-b^2)/a + (1-c^2)b + (1-a^2)/c ≥ 2 √3
应为：
求证  (1-b^2)/a + (1-c^2)/b + (1-a^2)/c ≥ 2 √3

BlaisePascal

题目写错了，

elimqiu

谢谢。能告知错在哪里吗？

BlaisePascal

[这个贴子最后由BlaisePascal在 2010/01/24 10:02am 第 1 次编辑] (1-b^2)/a + (1-c^2)/b + (1-a^2)/c ≥ 2 √3 漏了个除号 这个解应该是简单的，我想可以用拉格朗日乘数法 极小值为2sqrt(3),a=1/2,b=7/16时取得 不过我对这个问题一个简单变形更感兴趣，就是将c=sqrt(1-a2-a3)代入的二元方程的极值问题， 极值点并不唯一，如当a=b=c=1/sqrt(3)时也取到极值， 所以自然的一个问题是，是否还有别的极值点，是哪些。 或加个条件a>b>c,或a

elimqiu

不错。谢谢[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
能给出 a,b 求解过程吗?

waterwater

题目中“设 a > 0, b > 0, c > 0 且 a^2 + b^2 + c^2 = 1 ”
而又给出 [（a*a+b*b+c*c)/(r*r)]=1，且r=10cm,矛盾。
按 a=5.55cm,b=5.72cm,c=6.04cm计算，有
a*a+b*b+c*c=100.0025,近似可以认为是100，可能是我理解错了吧。

elimqiu

下面引用由waterwater在 2010/01/24 06:57pm 发表的内容：
题目中“设 a > 0, b > 0, c > 0 且 a^2 + b^2 + c^2 = 1 ”
而又给出 =1，且r=10cm,矛盾。
按 a=5.55cm,b=5.72cm,c=6.04cm计算，有
a*a+b*b+c*c=100.0025,近似可以认为是100，可能是我理解错了吧。

我用几何画板作图示，没法要求它按我的没有量纲式子画，所以在示意图中就用10厘米来表示我的1，或者说把我的式子的各个量乘十来示意。示意图中的一些具体值是几何画板自动算出的。

elimqiu

下面引用由BlaisePascal在 2010/01/24 06:48am 发表的内容：
这个解应该是简单的，我想可以用拉格朗日乘数法
极小值为2sqrt(3),a=1/2,b=7/16时取得
...

BlaisePascal能帮忙给出如何得到这些结果的具体过程吗？谢谢了。

BlaisePascal

过年了，要一个月不能上网，看看其他人能否解决吧，我简单做了下，发现由于函数本身的复杂，所以最后转化的求解方程依然不简单，还得再看看，想办法换换元，做做代换什么的。

waterwater

试着解了一下，不知对否，因为感觉上和球面没什么关系。