继续向陆老师请教

zhaolu48

再请教陆老师一个问题，
康托把无限集的势分为两种，一种是可数集的势a，另一种是连续集的势c。
那么非标准分析中的“Ω”是相当于a，还是相当于c？

luyuanhong

下面引用由zhaolu48在 2009/11/04 07:51am 发表的内容：
再请教陆老师一个问题，
康托把无限集的势分为两种，一种是可数集的势a，另一种是连续集的势c。
那么非标准分析中的“Ω”是相当于a，还是相当于c？

我对这个问题的回答如下：

luckylucky

我对楼上的观点表示不认同。如下：
首先，对于omiga(那个符号我无法打出，先以词单词对应），其定义成类似整数可以比较我认为不妥。其实怎么定义无所谓，但你后面用这个来表示基数就不妥了。
对于有限集合，其基数是个确定值。对于无限集合，其基数不是个确定值，我们是可以对基数做比较，但此时不能使用omiga加常量的方式比较。从以下几个方面讨论为什么不能。
1、你前面的介绍存在一一对应关系则等势，其基数也相同。那么假设自然数集合，和另一个集合，其有如下函数显示 f(x) = x+1,x属于自然数。此时，两个集合完全相等。但是如果从omiga可以进行加常量操作来看，f(x)始终比自然数集合少了{1}这个元素。因此其应该是omiga-1，所以不相等。这样不相等的结论是错误的。之所以错误，是其对omiga进行了常量操作。
2、我们可以说omiga * omiga > omiga。但我们不能说omiga +C > omiga。这样的操作本身和omiga的定义相矛盾。因为其是大于任何确定数的。既然是大于任何确定数，因此具备该类型的数据之间的比较，及比较结果不可能是个确定数。
所以。我认同你上面几乎全部的陈述。惟独 omiga+1不认同。我认为omiga+1就是omiga本身。因为你需要注意， 2*omiga = omiga + omiga。是属于一个无穷大数加上另一个无穷大数。其结果自然不等于加之前的数。这和 无穷大数加一个常量不是一会事情。性质已经变掉了。

luyuanhong

下面引用由luckylucky在 2009/11/04 10:45pm 发表的内容：
我对楼上的观点表示不认同。如下：
首先，对于omiga(那个符号我无法打出，先以词单词对应），其定义成类似整数可以比较我认为不妥。其实怎么定义无所谓，但你后面用这个来表示基数就不妥了。
对于有限集合，其基 ...

按照“非标准分析”的观点，Ω-2、Ω-1 、Ω 、Ω+1 、Ω+2、… 是各种不同的无穷大正整数，所以
{1,2,3,…,Ω-1}、{1,2,3,…,Ω-1,Ω}、{1,2,3,…,Ω-1,Ω,Ω+1}、… 也是各种不同的集合。
集合 {1,2,3,…,Ω-1} 的基数是 Ω-1 ，集合 {1,2,3,…,Ω-1,Ω} 的基数是 Ω  。
因为 {1,2,3,…,Ω-1,Ω} 比 {1,2,3,…,Ω-1} 多 1 个元素，所以从基数运算来看，就有（Ω-1）+1＝Ω 。
又例如，集合 {1,2,3,…,Ω-1,Ω,Ω+1} 的基数为 Ω+1 , 它比集合 {1,2,3,…,Ω-1} 多 2 个元素，
所以从基数运算来看，就有（Ω-1）+2＝Ω+1 。
由此可见，用 Ω 表示的基数，运算法则与普通整数运算法则完全相同，没有什么例外。

luckylucky

无论是标准分析还是非标准分析，无穷类的数，是不能和有穷的数进行直接加减操作的。还是那句话，无穷大数加上任意有限数后等于其自身。任意有限数加上无穷小数，也等于其自身。如同 宏观量和微观量不可有限次加减一样。比如概率和统计。你的概率是针对诸多样本进行的统计结果。但你不能拿这个概率去和每一个具体的样本做对应。因为每个具体的样本非1即0。

elimqiu

需要弄清{ 1,2,...,Ω} 的定义。
如果它被定义为 N ∪ {Ω}, 那么{ 1,2,...,Ω}就是可数的。
（这里 N 表示全体正整数的集合）

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/11/05 07:06am 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2009/11/04 07:14pm 发表的内容：
需要弄清{ 1,2,...,Ω} 的定义。
如果它被定义为 N ∪ {Ω}, 那么{ 1,2,...,Ω}就是可数的。
（这里 N 表示全体正整数的集合）

按照“非标准分析”，集合 { 1,2,…,Ω } 是这样定义的：
将集合 { 1,2,3,…,n-2,n-1,n } 中的正整数 n 用无穷大正整数 Ω  代入，就得到集合
{ 1,2,3,…,Ω-2,Ω-1,Ω } 。
可见，集合 { 1,2,3,…,Ω-2,Ω-1,Ω } 并不是 N ∪ {Ω} 。

ygq的马甲

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/11/05 07:23am 第 1 次编辑]

http://www.mathchina.com/cgi-bin/attachment.cgi?forum=5&topic=8319&postno=2&name=BCAFBACF7B12A1AD_1257344178&type=.gif
按陆教授的说法，按照“非标准分析”， 康托尔连续统假设是不成立的 ？？？
换另外的话来说就是，要么是不兼容的[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

这些基数，会不会等于 À0 或 À1 ？我说，不会。

我（俞根强、ｙｇｑｋａｒｌ）这种“新道学”认为：Ω 就是 À1 ，即“维”度【层次】符号，相当于 N+1 维对  N 维时

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/11/05 07:54am 第 3 次编辑]

下面引用由luckylucky在 2009/11/05 01:56am 发表的内容：
无论是标准分析还是非标准分析，无穷类的数，是不能和有穷的数进行直接加减操作的。还是那句话，无穷大数加上任意有限数后等于其自身。任意有限数加上无穷小数，也等于其自身。如同 宏观量和微观量不可有限次加减一样。.....

“无穷大数加上任意有限数后等于其自身。任意有限数加上无穷小数，也等于其自身。”
这些都是传统的标准的数学分析的观点。
但是，从非标准分析的观点来看，并不是这样。
在非标准分析中，无穷大量、无穷小量是一些具体的数（“超实数”），可以取大大小小各种不同的值，
可以像普通的实数一样做各种运算，可以像普通的实数一样比较大小。
所以，在非标准分析中，无穷大量加上一个不等于 0 的有限数后，并不等于其自身；
有限数加上一个非 0 无穷小量后，也不等于其自身。

jzkyllcjl

请问陆教授：集合{1，2，3，……omiga}是不是包含所有自然数？即是不是蕴含集合N？