[原创]请教luyuanhong教授一个整除问题-关于元素个数的

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2010/01/31 10:15am 第 1 次编辑]

[watermark]最近，研究线性不定方程在有限条件下正整数解的组数数目时遇到了一个解不开的问题。
问题的产生：
线性方程，x+y+z+.....+u=n,共有m个未知数，未知数与n都是正整数，现有条件P1,P2,P3,....,Pk,共k个条件，这k个条件互质，为正整数（大于1），条件的意思是：未知数不能整除它们。现举例如下：
x+y+z=n,x,y,z不能整除3，4，5。求n≥150000时，方程符合条件的正整数解的组数近似值公式。有条件3，4，5，可以得到总周期值为：3*4*5=60，能整除3的合成比例为：{[（3-1）^3+1]/3-1}/(3-1)^3=2/8,不能整除3的合成比例为：{[（3-1）^3+1]/3}/(3-1)^3=3/8;另外2个条件的合成比例计算方法一样：能整除4的占：6/27，不能整除4的占7/27；能整除5的占：12/64，不能整除5的占13/64.任何一个条件把n分为两种情况，要么能整除，要么不能，有三个条件，所以合成比例共有：2^3=8种。我们把每个条件与合成比例的积称谓：（此条件的）调节系数，所有调节系数的积为综合调节系数（3个条件有8种综合调节系数），所以每个总周期60内有8种综合调节系数。
最大综合调节系数为：3*4*5*3/8*7/27*13/64=1.1848958333，所有不能整除3，4，5的数，都用此调节系数，例如，60n+1,60n+2,60n+7,60n+11,60n+13,60n+14,60n+17,60n+19,60n+22,60n+23,60n+26,60n+29,60n+31,60n+34,60n+37,60n+38,60n+41,60n+43,60n+46,60n+47,60n+49,60n+53,60n+58,60n+59(共有24类数，也就是给的范围值相对于60的余数中不能整除3，4，5的）。最小综合调节系数为：3*4*5*2/8*6/27*12/64=0.625.（只有60的整倍数的数用此调节系数）。其余35类数的综合调节系数为另外的6种之一。
当范围值是总周期的一定倍数时，其不定方程符合条件的解组数近似值公式为：
综合调节系数*（范围值n前符合条件的元素个数）^3/n/(3-1)!=1/2*综合调节系数*（范围值n前符合条件的元素个数）^3/n。
这里问题就来了，如何用给的条件和限制范围值n来近似表达：范围值n前符合条件的元素个数。
例如，150010，有150010/60=2500.16666.有2500个整周期，每个周期内有（3-1）*（4-1）*（5-1）=2*3*4=24，有24个元素符合条件，10前还有1，2，7，三个元素，所以共有2500*24+3=60003个元素。
如何不这样计算，而用n,条件3，4，5来近似表示呢？即，把普通近似值公式中的符合条件的元素个数用另一个含n和条件的式子替换掉。[/watermark]
原帖中有150010*60=2500.16666，今天把*改成/，其余未动。

白新岭

符合条件的元素个数是否可以有：
n*∏(1-1/Pi)
得到其近似值。例如上面的150010*（1-1/3）*（1-1/4）*（1-1/5）≈60004.比实际多1个。
问题是，在有限条件下，不定方程的解组数的普通近似值公式中，明明要除（m-1)!,这里m为未知数的个数，而当用素数定理代替其个数时，问什么不在近似的除（m-1)!,
起码在n值较小时是这样。

白新岭

下面引用由白新岭在 2009/11/23 09:15am 发表的内容：
符合条件的元素个数是否可以有：
n*∏(1-1/Pi)
得到其近似值。例如上面的150010*（1-1/3）*（1-1/4）*（1-1/5）≈60004.比实际多1个。
问题是，在有限条件下，不定方程的解组数的普通近似值公式中，明明要除（m- ...

实际上，用素数定理代替后的普通近似值公式照样要除(m-1)!的，因为此公式不包括√n前素数参与的有效组合，所以其值与实际值之间是有误差的，特别是3元以上，在2元中，由于不符合条件的元素参与了运算，把这种误差给掩盖了些，致使人们不易发现。