【虚心求教】【极限】【连续】请教几个问题 （已解决1/总题数3）

数魂

[这个贴子最后由数魂在 2009/12/12 06:01pm 第 7 次编辑]

【问题1（已经解决）】、f(x)是[a,b]上的连续函数，问：（1）是否存在[a,b]的子区间I，使得f于I上单调？
（2）如果（1）成立，请给出证明 （3）如果（1）不成立，请给出反例 （3.1）请加上一个尽量弱的条件使命题成立
1.1 证明：可以找到这样一个点，在这个点的任何邻域中，f都不是单调的。（这个我已经会了，关键是下一个题）
1.2 问：1.1中的点是否稠密？如果是，请证明，如果不是，请给出例子
【解答】：在《实分析中的反例》中，可以找到：
无处单调的 连续函数（二章51） 可微函数（三章38） 绝对连续函数（十一章29）
（相关书籍 分析中的反例 http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6016075.html
实分析中的反例 http://ishare.iask.sina.com.cn/f/5827852.html）
【问题2】{a_n}是单调递减的正项数列，且它是（1/n）的高阶无穷小，问{na_n}是否为单调数列

数魂

[这个贴子最后由数魂在 2009/12/12 11:26am 第 1 次编辑]

问题3，希望给阶数寻找一个统一的“刻度”

ccmmjj

一楼的问题并不难，有一本书，叫《分析中的反例》你去找来看看。
二楼的问题让人看不懂，但是有关阶的问题的讨论，你可以去学习一下复变函数论中有关亚纯函数的内容。

数魂

今天我又有两个宝贝入库喽,啥也不说了，谢谢哦^_^
分析中的反例 http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6016075.html（好像是个外国人写的）
实分析中的反例 http://ishare.iask.sina.com.cn/f/5827852.html（汪林）
（感觉这本比前一本内容要丰富，可能是书比较厚的缘故）

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/12/12 05:06pm 第 1 次编辑]

下面是我过去在《数学中国》论坛发表过的两个帖子，可供你参考：

数魂

下面引用由luyuanhong在 2009/12/12 02:31pm 发表的内容：
下面是我过去在《数学中国》论坛发表过的两个帖子，可供你参考：

谢谢您。不过 “f于[a,b]上连续，则f';也连续”这个命题不真，其反例为：令f(x)定义在[0,1]上且满足：当x>0时，f(x)=(x^2)sin(1/x)  当x=0时，f（x）=0
估计错误原因在于 x--->x0的时候， ksi点虽然趋近于x0，但是并不一定连续的趋近于x0.
我的证明大致是这样的，因为假如原来命题不真，那么f（x）有无数多个“锯齿”，这样可以用构造数列的方法证明导函数无界，与 可导 矛盾。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数魂 在 时添加 -=-=-=-=-
刚找到的，即使加上 可微 条件，也有反例（见顶楼【解答】）

luyuanhong

楼上说得很对，我也发觉了其中的问题，所以把这一帖子删除了。

数魂

大家好，我回来了。我现在最想知道第2个问题的证明或者反例，谢谢