[求助]请教老师“正定矩阵”的一个问题，做两道题时遇到的。

傻瓜学者

我今天做了两道题线性代数的题，是关于“正定矩阵”的。本来都不是难题，我却发现了一个问题。 第一道题，选择题： n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是（） A.二次型xTAx的负惯性指数为零 B.存在可逆矩阵P使P-1AP=E C.存在n阶矩阵C使A=CTC D.A的伴随矩阵A*与E合同 这道题其实挺基础的： A是必要非充分条件 B是充分非必要条件 C明显不对 D可知A*必正定，通过A与A*的特征值的关系，可知A也正定。 而答案也正是D，没有问题。此外答案还给了一个等价式： A正定<=>A-1正定<=>A*正定 本来这道题算过去了，但紧接着后面的一道填空题却让我糊涂了。题目为： 设a=[1,0,1]T，A=aaT，若B=(kE+A)*是正定矩阵，则k的取值范围是____ 请老师先看一下我的想法： 可知A为 1 0 1 0 0 0 1 0 1 则kE+A为 1+k 0 1 0 k 0 1 0 1+k 通过刚才那道题答案给的等价式：A正定<=>A*正定，我干脆就直接看k满足何值时kE+A为正定矩阵就可以了。 应用定理：若某矩阵为正定矩阵，则其顺序主子式皆大于零。 （过程略）结果为k>0 可答案却不是。请老师再看一下答案的做法： 他先求出A的特征值，为2,0,0，则矩阵kE+A的特征值为k+2,k,k，那么B的特征值为 k^2、k(k+2)、k(k+2) 所以结果为：k<-2或k>0 俩答案明显不一样！我实在有些糊涂，到底是哪里出问题了？？ 请教老师了！谢谢！

wanwna

就冲k<-2这一点就可以判定答案错了

luyuanhong

你看的书上说：“A 正定 <＝> A* 正定”，其实是不对的。当 A* 正定时，A 并不一定正定。 所以，不能从“B＝(kE+A)* 正定”推断出必有“kE+A 正定”。

wanwna

哦，不好意思,看错了题目.
把(kE+A)*看成了kE+A*
另外,可能单位阵用I符号更多一点.

傻瓜学者

嗯，我记下了！非常感谢陆老师！
也谢谢 wanwna兄 的参与！

傻瓜学者

陆老师，我琢磨了一下，如果矩阵A为偶数阶的，那么“A正定<=>A*”正定就成立了吧？

luyuanhong

下面引用由傻瓜学者在 2009/12/14 10:40pm 发表的内容： 陆老师，我琢磨了一下，如果矩阵A为偶数阶的，那么“A正定<=>A*”正定就成立了吧？

你这个结论是正确的。 设已知 A* 正定，因为 A 的逆阵 A^(-1)＝A*/│A│，所以， 如果│A│＞0 ，则 A^(-1) 正定，相应地 A 也是正定的； 如果│A│＜0 ，则 A^(-1) 负定，相应地 A 也是负定的。 但是，由于 A 是偶数阶矩阵，所以，不管 A 是正定的还是负定的， 必定有│A│＞0 ，不可能有│A│＜0 ，所以 A 实际上一定是正定的。

傻瓜学者

这回彻底搞清楚了。
谢谢陆老师！