[分享]一个函数的问题

elimqiu

f(x) 是 R 上的实函数，处处满足 |f(x)-f(y)|<= (1/2) |x-y| 求其图形与 y = x 的交点的个数。

Euclid

这题应该不用压缩映射原理来做。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 Euclid 在 时添加 -=-=-=-=-
不然就太显然了。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 Euclid 在 时添加 -=-=-=-=-
不然就太显然了。

elimqiu

对这个论坛来说，没有太显然的东西。柯西列是否收敛也可以争论一番的。

elimqiu

令 g(x) = x - f(x), 则当 x > 0 时
g(x) = x - (f(x)-f(0))-f(0) ≥ x - f(0) - (1/2)(x-0) = x/2 - f(0) →∞ ( x →∞ )
x < 0 时 g(x) = x - (f(x)-f(0))-f(0) < x - f(0) + |f(x)-f(0)| < x - f(0) + |x|/2 = x/2 -f(0) → -∞ ( x → -∞ )
所以 g(x) 可以取到正的和负的值。 因为g(x)显然连续所以由介值定理，g(x) 由零点 a.
若b ≠ a, 则 |g(b)|=|g(b)-g(a)|=|b-a-(f(b)-f(a)|≥|b-a|-|f(b)-f(a)|≥|b-a|-|b-a|/2=|b-a|/2> 0
所以 g(x) 由唯一的零点。 即曲线 y = f(x) 和 y = x 只有一个交点

wangyangkee

elimqiu不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶，不是网痞，不是下三滥，