[小题] 有关正整数的一个不等式

elimqiu

若正整数 a,b,c 满足 1/a + 1/b + 1/c < 1, 那么 1/a + 1/b + 1/c ≤ 41/42

申一言

    若令  41=n,
    则    42=41+1=n+1
     即  1/a+1/b+1/c≤n/n+1
    证
      因为 n/n+1=[(n+1)-1]/n+1=n+1/n+1-1/n+1=1-1/n+1＜1.
      正确.
  

elimqiu

楼上证的是 n/(n+1) < 1 而不是 1/a+1/b+1/c < 41/42.

申一言

下面引用由elimqiu在 2010/05/03 04:54pm 发表的内容：
楼上证的是 n/(n+1) < 1 而不是 1/a+1/b+1/c < 41/42.

         啊!
             是的!
                    n/n+1,n=1,2,3,,,证明的范围要广.
     41/42=(42-1)/42=42/42-1/42=1-1/42＜1

elimqiu

下面引用由申一言在 2010/05/04 00:05am 发表的内容：
         啊!
             是的!
                    n/n+1,n=1,2,3,,,证明的范围要广.
     41/42=(42-1)/42=42/42-1/42=1-1/42＜1

41/42 < 1 就证明了 1/a + 1/b +1/c ≤ 41/42 ?
那么 1/2 < 1 是不是就可以推出 1/a + 1/b +1/c ≤ 1/2 ？

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/05/04 01:01am 第 1 次编辑]

设 1 < a ≤ b ≤ c 且 1/a + 1/b +1/c < 1, 考虑 a 可能的取值...

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2010/05/04 08:08am 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/05/03 11:52pm 发表的内容：
设 1 < a ≤ b ≤ c 且 1/a + 1/b +1/c, 考虑 a 可能的取值...

   谢谢老师耐心的开导!
       因为 42=2×3×7
       所以 a=2,b=3,c=7
       因此
            1/a+1/b+1/c=1/2+1/3+1/7=21/42+14/42+6/42=41/42
      
      即    1/a+1/b+1/c≤41/42
                                 证毕.
                                                   谢谢!

elimqiu

下面引用由申一言在 2010/05/04 07:56am 发表的内容：
       因为 42=2×3×7
       所以 a=2,b=3,c=7
...

还是不对。你只能从题目中关于 a,b,c 的已知条件出发来推理。没有理由设定它们

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/05/04 09:23am 第 1 次编辑]

此题证明如下：

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/05/04 02:52am 第 1 次编辑]

是啊。很少想到会有41/42这么一个限。 不过抽象地看，a,b,c 的可能的组合在限制1/a+1/b+1/c ∈ (1/2,1)下是有限的。 所以必为某个小于1的有理数。
一言先生，当今数学就是这么严谨。你要迎头赶上才对。