[讨论]很好的题目

tian27546

  

elimqiu

如果 f" 只在 (0,1) 存在， 那么 f 在 0，1 处的连续性是必要的。
假定 f" 在 [0,1] 存在，那么只要恒有 f" > 0，积分的条件没有结论还成立。
这是凸函数的特点

tian27546

自己再想清楚！

elimqiu

Ok 注意到了 |f| 而不是 f[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
几何地说，由函数的凸性，f 的图形在
(0,f(0)) 到 (1,f(1)) 的下面。所以只要证明 f(m) < 0 时 -f(m) 不大于 M = max{f(0),f(1)}
令 E = f^(-1)(-∞,0), 易见 E 是一个区间且长度 L > 1/2
令 m = min f([0,1]) 由函数在[0，1]的积分 I = 0 及函数的凸性知
|m|L/2 < M(1-L)/2, 于是 m < M (1-L)/L < M

tian27546

再想想你的方法 的正确性！ 错误的解法

ccmmjj

我对这个问题有一点兴趣，先抄下来，今晚作答。

elimqiu

............

ccmmjj

费了一些打字的时间。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/05/13 03:49pm 第 1 次编辑]

ccmmjj先生的解基本上跟我的解法提纲是相容的。有些论证还可以简化。
关于 f'; 的正负取值的分别讨论可以简化为函数与x轴的交点在(0,1)中是一个还是两个的分别讨论。在我的提纲中这被表达为 f 关于(-∞,0)的逆像...
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这是一个不错的题目。既然是讨论，不妨心平气和一点，让讨论有乐趣，能够彼此有分享对吗？

ccmmjj

“令 E = f^(-1)(-∞,0), 易见 E 是一个区间且长度 L > 1/2”
你的这一步并不那么显然。我为了第一步的证明还使用了中值定理。然后再考虑到对题目条件不变的相关变换，把结论推广到一般情况。
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“再想想你的方法 的正确性！”tian27546的感叹号可能只是善意的提醒，当老师的经常这样，无关心情。