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当一个问题看起来很难解决的时候，我们常常把前提和结论通过一一变换映射到另一个域上面，在那里解决了问题之后再映射回来，这就是数学变换的思想。
(1) 整数的性质
对于组合数学的计数问题，"是否存在"的问题常常被映射为"是否整除"，"是否同余"，"是奇数还是偶数"的问题，等等。因为数论的问题是已知可解的，所以前提和所求只要能一一映射为数论问题，那么解就是有效的。
"5个人，每个人都和其他3个人是朋友"，这句话是真的吗? 因为我如果把这个关系看成真的，那么"A是B"的朋友这样的话，一共能写出15句。但是因为友谊关系是自反的，所以"A->B"同时一定有"B->A"，因此友谊关系的数量一定是2的倍数，而2|15不成立，所以这句话是假的。
"5个人，数学和英语成绩都不同，证明存在3个人，其中有一个人的两门成绩在3人当中都排第2"，显然，用代数推理办法无法证明，必须用2维图的办法表达这样的一种关系: 画5个点表示5个人...如果两个人之间的关系是A英数都高于B用红线连起来,否则用蓝线...然后必然存在一个同色的三角形。显然，如果有红色三角形，那么成立。如果有蓝色三角形呢? 情况复杂一点，画一个三角形，在每条边上添加两条不同颜色的有向箭头，会发现，如果两种有向箭头的非吸收点不是同一点的话，那么必然存在某个点，向其他的两个点之一发出两个同向的不同色箭头，而这违反了蓝色的性质(画出来就清楚了)。所以蓝色的三角形当中，必然有人两门成绩都是第二。命题得证。因为比较的因素超过了1个，是个2维问题，所以就必须借助2维图形了。一维的代数推导无力。
(2) 关于数学归纳法
自然语言有很严重的的2义性。
我们用归纳的方法来证明时，有一点我们必须注意，即叙述 P(n) 是有一些限制的，不可以是任意的叙述。徐道寧教授所著《数学归纳法》里有一个这样的例子，用 P(n) 表示 n 粒沙子不成沙堆，用「数学归纳法」可得到「沙堆」不存在，这个结果当然是不合理的，原因就是「沙堆」这一个观念，不是数学上能明确定义的，也就是无法用数 学符号来表示「沙堆」这个观念，所以对叙述 P(n) 我们要求是可以用数学符号表示出来，以避免一些无法正确定义的观念如沙堆跑进来。
要用数学归纳法，这个集合必须是良序的，也就是至少可以用超限归纳法来进行证明。对于不构成良序的集合，数学归纳法是无效的。休谟关于归纳法的悖论问题(母鸡和主人的归缪命题)，指出的就是如果集合本身有顺序，但是不存在指定意义上的比较良序的话，前驱和后继只是时间上的联系，而没有逻辑上的必然推理性，归纳法无从谈起。
(3)特征方程和不动点
当f(x)=0无法求解的时候，我们试图构造F(x)=f(x)+x=x的解。这个解称为F(x)的不动点，是一种递推关系求解的方法。
1.假设有无穷数列A(0)=c，A(n)=aA(n-1)+b，通项公式怎么求? 直接用归纳法求也太笨了。还是利用基本的等差/等比数列的性质:A(n)+x=a(A(n-1)+x)，其中x=-b/(a-1)，就可以求出等比数列B(n)=A(n)+x的通项公式，A(n)易得。
用自然语言说明上面的例子，把"非等比数列"映射为"等比数列"，相当于等比数列作了一个平移，也就是把计算f(A(n-1))=A(n)当中，A(n-1)看成x,A(n)看成f(x)，求不动点方程f(x)=x，得到递推关系，这个f(x)=x的解就是上面的x=-b/(a-1)。因为数列的依次递推关系是定义域到自身的一个映射，所以不动点的解就是映射的特征，可以看出在方程两端，x的表达子式是对于等比数列"乘法不变"的，这就是所谓的"特征值"。
2.假设有微分方程：y';';+y';-2=0，那么e^x是对于求导运算的乘法"不动点"，所以特征方程M^2+M-2=0，M=1或-2，y=C1e^(1x)+C2e^(-2x)+C3。
假设有差分方程aA(n+2)+bA(n+1)+cAn=0，(如果有常系数项，那么同前例，可以化为B(n)的数列，因为特征根x经过映射以后不变，所以把方程中的A(n+2),A(n+1),A(n)都代换成x^3,x^2,x，求出x的解，然后用不动点法求出等比序列。
3.例子: An =2/A(n-1)+A(n-1)/2，求An通项
解：利用不动点来求通项: 设f(x)=2/x+x/2 ，当f(x)=x时 ，x=-2，2，此点为不动点
An-2=[A(n-1)-2]^2/2A(n-1)
An-(-2)=[A(n-1)-(-2)]^2/2A(n-1)
两式相除
An-2 =[A(n-1)-2]^2
—— ——————
An+2 [A(n-1)+2]^2
此时再设{Bn}=(An-2)/(An+2)
B1=(4-2)/(4+2)=1/3 递推式为：Bn =B(n-1)^2 ，所以Bn=(1/3)^[2^(n-1)] 。由Bn通项和An通项的关系解得：An={2*（1/3)^[2^(n-1)]+2} / {1-（1/3)^[2^(n-1)] }
4.对于高等代数的特征方程而言，特征向量就是把原矩阵看成是一个线性映射组合，它把自己的特征向量仍然映射为特征向量，所以每个特征向量就是原映射的一个"不动点"。
所谓的"不动点"，就是寻找映射的过程中的"不变量"，利用这种不变量可以得到映射的递归关系，使得无穷计算变得可能。
(4) 域变换的思想
复变分析研究的，信号处理研究的，那么多种f变换，s变换，z变换，到底包含了什么样的思想，为什么要那样做? 人们总是希望能够用十分有限的语言来表述和研究十分复杂的问题。例如，如果一个问题的区间非常大，那么希望能映射到一个非常小的区间当中来；如果数据的分布十分凌乱，就希望能映射到一个非常集中的形态上面来----这样的话，我们就可以取当中的"主要"部分，来研究所谓的"规律"，而被丢弃的那些，我们主观的认为"不重要"，"不是主要问题"而忽视了，就是为了简化问题。
如果说线性代数解决的是线性映射的问题，那么复数的域变换就是一类非线性的一一映射。一个无穷的波动的序列被映射到一个分布相对非常集中的频率域上面，因此研究起来就容易的多了，过滤，叠加等变换就显得非常的直观了，因为研究的范围，其主要的"定义域"变得非常有限了。举个例子来说，A问B，这次考试的成绩怎么样? B说，"张一100分，张二70分，张三84分。。。。张一百79分"，A听起来头晕，但是如果B说，"90到一百分的10名，80-89的20名，70-79的30名，70分以下50名"，那么A就清楚多了。如果B说，100人的成绩，符合70分为中心，+-30分为a=0.05置信区间的的近似正态分布，那么A就能很快的知道总体的成绩了。因此，域变换是一种研究整体性质的工具-----因为它所做的就是概括性的去表述了"整体"的"分布趋势"，而不是研究具体的数据点的序列关系和具体数值。
举例来说，复立叶变换，就像复立叶级数一样，假定了样本数据的分解，主要集中在低频区域，某个频率分量w上面的数值，就是原函数和三角函数e^jwt的相关系数。取定域变换的规则的时候，也就是取定一系列的，用来做相关的正交基，输入序列和这些正交基做相关----F域乘积，原定义域卷积，得到的就是一个概括性的整体特性系数，这些系数画出连续的点图，就是F变换的形状。当然，前面的那个收敛假设如果不成立的话，我们加以变换，乘以衰减因子，就得到了S变换。如果样本函数本身是离散的，那么我们如果假设两个样本点之间的f跳变=0或者圆周率，那么就得到了离散的F变换。如果样本点是数字幅度序列的话，我们进一步得到了z变换。变换得到的就是整体的特性。
(5) 完美的悖论
可是，归纳法也好，域变换也好，它们所处理的，只能是符号的信息，我们必须把问题符号化了以后才能交给数学。而从意义上讨论，这些数学变换本身并不能带给我们意义上的涵义，数学，看起来只是一个推理工具----我可以从一个荒谬的前提得到任何结论，但是推理的过程本身在数学上可以是无懈可击的。符号本身没有意义，"意义"这个词语的涵义是什么? 如果我要定义它的话，就要给出意义的意义，意义的意义的意义，以至于无穷----陷入了休谟所说的无穷的回溯了。在哥德尔指出不完备性定理之前，我们总是在企图寻找一个完美的理论，使得从理念的空间到现实的空间之间可以一一对应。我们总是假设，问题是可以解决的，然后把这个作为前提去寻找解，来证明问题是可以解决的----这就像一条吃掉自己尾巴的蛇一样，永远是个怪圈。
但是现实似乎证明了，理论的复杂度，从基数上来说，比现实低了很多个连续统，也就是不可能建立一种一一对应的东西，一切都是近似。理论的完备性，只是针对理论自身而言成立而已。柏拉图的智慧，如果我们不去学习的话，也许只是花费很多的时间走过很多的弯路，最后发现，啊，柏拉图早就说过的，这便是人性的本来面目啊。那稻田里面的麦穗，到底哪一粒是最饱满的? 如果我一定要寻找到这最完美的稻穗，那么当我离开稻田的时候，一定是两手空空。科学的探究终究是基于一系列主观的假设的，这些假设被人们安上了很好听的名字----公理。可是要和公理较直呢?
看起来只能求助于神，神创造了自然数，一切形而上学的基础。1+1=2，这是不言自明的，不需要回溯的定义；它作为一个没有任何疑问的起点，然后世界才被创造出来，
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发表于 2010-5-27 17:52
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