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本帖最后由 elim 于 2020-8-7 21:36 编辑
记R为实数域,{an}是实数序列a1,a2,a3,…,an,…
称{an}收敛,其极限为A∈R,记作lim如果
任意给定\varepsilon>0,\,存在\,N\in\mathbb{N},\,|a_n-A|\,对任意\,n>N成立.
上述定义可以表示为
\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A\iff\forall\varepsilon>0\,\exists N\in\mathbb{N}\,\forall n>N:\,|a_n-A|< \varepsilon
例1 \;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{1}{n}}=0
证:对\,\varepsilon>0\,取\,N=\lfloor\frac{1}{\large\varepsilon}\rfloor,\,
\qquad则\,n{\small >N\implies} n{\small\ge N+1>}\frac{1}{\large\varepsilon}{\small\implies}|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}< \varepsilon.
例2 \;\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1
证:令\,h_n=\sqrt[n]{n}-1,\,则\,\frac{n(n-1)}{2}h_n^2< (1+h_n)^n=n
\therefore\quad h_n<\sqrt{\frac{2}{n-1}}\;\small(n>1).\,对\,\varepsilon>0,\,取\,N=1+\lfloor\frac{2}{\large\varepsilon^2}\rfloor,\,则
\qquad n>N\implies n\ge N+1>\frac{2}{\large\varepsilon^2}+1\implies\sqrt{\frac{2}{n-1}}<\varepsilon
\quad\;\;\implies|\sqrt[n]{n}-1|=h_n<\varepsilon.\quad\small\overset{\,}{\square}
定义:若\,A\in\mathbb{R},\,有无穷多个\,n\,使\,a_n\in(A-\varepsilon,A+\varepsilon),\,
\qquad(\forall\varepsilon>0)则称\,A\,是序列\{a_n\}的一个聚点.
例3\;\underset{\,}{\big\{\frac{n^{(-1)^n}}{1+n^{(-1)^n}}\big\}}有两个聚点\,\pm 1.\;\{\sqrt[n]{n}\}\,的聚点是\,1.
评注:从数列极限的定义及上面的例子知道,数列的极限
是一个实数(定值),任意给定误差\,\varepsilon>0,\,,当\,n\,充分大时数
列的项\,a_n\,与该实数\,A\,的误差均小于\,\varepsilon.\;从几何上看,收敛数
列的项在含其极限的任意开区间外至多只有有限项.
数列极限的定义不要求,甚至本质上是视"可达性问题"为伪
问题的.因为如果一个序列的某一项达到(等于)所需值,那
么就没有求极限的必要了.可达性问题之所以被提出,是因
为直觉主义者把数列视为一个运动过程的记录,把极限视为
这个运动过程的终点.然而正是因为人们无法用过程的过渡
性状态来定义"过程终点",极限方法才是必要的.数学史上
的第二次(数学)危机的解决,就是给出了极限的严格定义,
把极限定义为序列的唯一聚点,改正了把极限视为过程的终
点的错误\underset{\,}{.}
定理0 设\,\{a_n\}\,收敛,则\,\{a_n\}\,有界,其极限唯一.
证: 取\,\varepsilon=1,\,则有\,N\in\mathbb{N}\,使\,|a_n-A|< 1.
\qquad令\,M=\max\{|A|+1,|a_1|,\ldots,|a_N|\}\in\mathbb{R},则
\qquad|a_n|\le M\;(\forall n\in\mathbb{N}^+)\,即序列有界.
\qquad若\,\{a_n\}\,趋于\,A,A'\in\mathbb{R},\,\delta=|A-A'|>0
\qquad取\,\varepsilon=\frac{\large\delta}{4},\;N\in\mathbb{N},\,使
\qquad\delta\le|a_n-A|+|a_n-A'|< 2\varepsilon=\frac{\large\delta}{2}\;\small(n>N)
\qquad此为矛盾. 故必有\,A=A'.
定理1 设\displaystyle\,\lim_{n\to\infty}a_n=A,\,\lim_{n\to\infty}b_n=B,\,c\in\mathbb{R}则
\qquad\displaystyle\lim_{n\to\infty} ca_n = cA,\;\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=A\pm B.
\qquad\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_nb_n=AB,\;\;(B\ne 0\ne b_n)\implies\lim_{n\to\infty}\small\frac{a_n}{b_n}=\scriptsize\frac{A}{B}
证:只证定理最后那个论断.取\small\,N_1使\,|b_n| >\frac{|B|}{2}\small\,(n >N_1)
\qquad对\,\varepsilon>0,取\small\,N_2\,使{\small\,|a_n-A|,|b_n-B|<} \frac{4^{-1}|B|^2\varepsilon}{\max(|A|,|B|)}\;\small(n>N_2)
\therefore\quad\big|\frac{a_n}{b_n}{\small-\frac{A}{B}}\big|\le\big|\frac{2(|a_n-A||B|+|b_n-B||A|)}{B^2}\big|<\frac{4\max(|A|,|B|)}{B^2}\frac{4^{-1}|B|^2\varepsilon}{\max(|A|,|B|)}
\qquad = \varepsilon\small\;\;(n>\max(N_1,N_2)).\quad\square |
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