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简明极限论

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发表于 2020-8-8 08:51 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 elim 于 2020-8-7 21:36 编辑

R为实数域,{an}是实数序列a1,a2,a3,,an,
{an}收敛,其极限为AR,记作lim如果
任意给定\varepsilon>0,\,存在\,N\in\mathbb{N},\,|a_n-A|\,对任意\,n>N成立.
上述定义可以表示为
\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A\iff\forall\varepsilon>0\,\exists N\in\mathbb{N}\,\forall n>N:\,|a_n-A|< \varepsilon
例1 \;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{1}{n}}=0
证:\,\varepsilon>0\,\,N=\lfloor\frac{1}{\large\varepsilon}\rfloor,\,
\qquad\,n{\small >N\implies} n{\small\ge N+1>}\frac{1}{\large\varepsilon}{\small\implies}|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}< \varepsilon.
例2 \;\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1
证:\,h_n=\sqrt[n]{n}-1,\,\,\frac{n(n-1)}{2}h_n^2< (1+h_n)^n=n
\therefore\quad h_n<\sqrt{\frac{2}{n-1}}\;\small(n>1).\,\,\varepsilon>0,\,\,N=1+\lfloor\frac{2}{\large\varepsilon^2}\rfloor,\,
\qquad n>N\implies n\ge N+1>\frac{2}{\large\varepsilon^2}+1\implies\sqrt{\frac{2}{n-1}}<\varepsilon
\quad\;\;\implies|\sqrt[n]{n}-1|=h_n<\varepsilon.\quad\small\overset{\,}{\square}
定义:\,A\in\mathbb{R},\,有无穷多个\,n\,使\,a_n\in(A-\varepsilon,A+\varepsilon),\,
\qquad(\forall\varepsilon>0)则称\,A\,是序列\{a_n\}的一个聚点.
例3\;\underset{\,}{\big\{\frac{n^{(-1)^n}}{1+n^{(-1)^n}}\big\}}有两个聚点\,\pm 1.\;\{\sqrt[n]{n}\}\,的聚点是\,1.
评注:从数列极限的定义及上面的例子知道,数列的极限
是一个实数(定值),任意给定误差\,\varepsilon>0,\,,当\,n\,充分大时数
列的项\,a_n\,与该实数\,A\,的误差均小于\,\varepsilon.\;从几何上看,收敛数
列的项在含其极限的任意开区间外至多只有有限项.
数列极限的定义不要求,甚至本质上是视"可达性问题"为伪
问题的.因为如果一个序列的某一项达到(等于)所需值,那
么就没有求极限的必要了.可达性问题之所以被提出,是因
为直觉主义者把数列视为一个运动过程的记录,把极限视为
这个运动过程的终点.然而正是因为人们无法用过程的过渡
性状态来定义"过程终点",极限方法才是必要的.数学史上
的第二次(数学)危机的解决,就是给出了极限的严格定义,
把极限定义为序列的唯一聚点,改正了把极限视为过程的终
点的错误\underset{\,}{.}
定理0\,\{a_n\}\,收敛,则\,\{a_n\}\,有界,其极限唯一.
证:\,\varepsilon=1,\,则有\,N\in\mathbb{N}\,使\,|a_n-A|< 1.
\qquad\,M=\max\{|A|+1,|a_1|,\ldots,|a_N|\}\in\mathbb{R},则
\qquad|a_n|\le M\;(\forall n\in\mathbb{N}^+)\,即序列有界.
\qquad\,\{a_n\}\,趋于\,A,A'\in\mathbb{R},\,\delta=|A-A'|>0
\qquad\,\varepsilon=\frac{\large\delta}{4},\;N\in\mathbb{N},\,使
\qquad\delta\le|a_n-A|+|a_n-A'|< 2\varepsilon=\frac{\large\delta}{2}\;\small(n>N)
\qquad此为矛盾. 故必有\,A=A'.
定理1\displaystyle\,\lim_{n\to\infty}a_n=A,\,\lim_{n\to\infty}b_n=B,\,c\in\mathbb{R}
\qquad\displaystyle\lim_{n\to\infty} ca_n = cA,\;\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=A\pm B.
\qquad\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_nb_n=AB,\;\;(B\ne 0\ne b_n)\implies\lim_{n\to\infty}\small\frac{a_n}{b_n}=\scriptsize\frac{A}{B}
证:只证定理最后那个论断.取\small\,N_1使\,|b_n| >\frac{|B|}{2}\small\,(n >N_1)
\qquad\,\varepsilon>0,\small\,N_2\,使{\small\,|a_n-A|,|b_n-B|<} \frac{4^{-1}|B|^2\varepsilon}{\max(|A|,|B|)}\;\small(n>N_2)
\therefore\quad\big|\frac{a_n}{b_n}{\small-\frac{A}{B}}\big|\le\big|\frac{2(|a_n-A||B|+|b_n-B||A|)}{B^2}\big|<\frac{4\max(|A|,|B|)}{B^2}\frac{4^{-1}|B|^2\varepsilon}{\max(|A|,|B|)}
\qquad = \varepsilon\small\;\;(n>\max(N_1,N_2)).\quad\square
发表于 2020-8-8 10:50 | 显示全部楼层

这些垃圾玩意儿,去骗骗大学新生或许能得逞,在这里估计没人买帐~~~

花了那么多功夫,发这么复杂的贴,却没几个人理睬,不冤吗?
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发表于 2020-8-8 11:01 | 显示全部楼层
关于数列{1/n}, 对全体正实数ε,他找不到是不等式成立的N。

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搭理他干么呢?让他发去,累死他!哈哈  发表于 2020-8-8 12:35
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 楼主| 发表于 2020-8-8 12:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2020-8-8 00:01 编辑
青山 发表于 2020-8-7 19:50
这些垃圾玩意儿,去骗骗大学新生或许能得逞,在这里估计没人买帐~~~

花了那么多功夫,发这么复杂的贴 ...


范副的这些说辞根本没有数学内涵, 泛痞子相. 无非是说, 数学对范副太过艰深, 有这点坦诚, 咱免了尖刻.

本论坛的大部分网友都不是数学专业的. 这个主题可以帮助对高等数学理论基础有兴趣的人. 对于 jzkyllcjl 之流, 也有迫使其说话严谨专业的意图. 自取其辱了一辈子, 看看是否最后能知道自己死在什么地方....

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张口闭口数学内涵,好像你能代表数学似的,你不过一条唯心主义数学神棍而已~~~~  发表于 2020-8-8 12:37
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 楼主| 发表于 2020-8-8 12:11 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 发表于 2020-8-7 20:01
关于数列{1/n}, 对全体正实数ε,他找不到是不等式成立的N。

你还是读不懂主贴极限的定义啊. 没有起码的文化就是不行. 多次指出, 吃狗屎误事啊.
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发表于 2020-8-8 13:44 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 发表于 2020-8-8 11:01
关于数列{1/n}, 对全体正实数ε,他找不到是不等式成立的N。

那样就不是“对于任意一个ε总存在N”,还是“存在一个固定的N使得对于任意一个ε”了吧。
首先这是量词顺序不能交换的问题。套用网上一句话:“没有人永远年轻,但永远有人年轻。”
其次既然说法有问题,把话说清楚点不就行了。

记得当初发明极限的严格定义时,\epsilon代表error(错误),\delta代表distance(距离),正好是第一个字母对应的希腊字母,知道这一点应该有助于记忆定义。
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发表于 2020-8-8 13:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 11111qqqq 于 2020-8-8 13:58 编辑

可以稍微简化一点,存在函数定义域为R^+值域为N^+的函数f(x),使得若n \gt f(x)|a_n-A| \lt x

再不行我记得张景中的书里有简化版定义,就是先定义极限为0(这个可以直接套标准定义,很方便),然后说如果f(x)-A的极限为0,那么f(x)的极限为A。

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这种简化对这里的多数人而言是复杂化:没有一般的映射观念,对集合论常有误读。  发表于 2020-8-8 15:07
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 楼主| 发表于 2020-8-8 14:52 | 显示全部楼层
11111qqqq 发表于 2020-8-7 22:50
可以稍微简化一点,存在函数定义域为R^+值域为N^+的函数f(x),使得若n \gt f(x)则\(|a_n-A ...

像 jzkyllcjl 这种一辈子"从事"数学基础"改革"的副教授, 居然连极限的定义都糊里糊涂, 是不是应该上吉尼斯数学败类纪录?
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发表于 2020-8-8 20:30 | 显示全部楼层
任意正数ε 与全体正数ε 的意义不同。在极限 存在的条件下,对任一确定的ε,都有N 存在,使不等式 成立,但对全体正数,使使不等式 成立的N 就找不出来! 所以ZFC 形式语言 不完善。
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 楼主| 发表于 2020-8-9 00:21 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 发表于 2020-8-8 05:30
任意正数ε 与全体正数ε 的意义不同。在极限 存在的条件下,对任一确定的ε,都有N 存在,使不等式 成立, ...

jzkyllcjl 把\forall\epsilon>0"篡改成全体正数, 再将其栽赃到 ZFC 形式语言的恶行, 不能简单地归咎于他吃狗屎的坏习惯, 他应该是有自觉性的数学败类. 恶念多端和愚蠢至极其实都一样: 被人类数学抛弃. jzkyllcjl 活该.
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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
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