F 是 AC 中点，D 在 BC 上，BF,AD 交于 E，ΔBED 与 四边形 FEDC 面积相等，求 4BD/DC

popo987654

不太知道怎运用面积相等的已知...

luyuanhong

popo987654

luyuanhong 发表于 2020-8-28 10:17

您好，老师，最上面「设面积的部分」是不是写错了，我自己尝试再算了一次，答案是3+根号17

luyuanhong

谢谢楼上 popo987654 指出！我原来的解答确实有错，现已更正。

小fisher

如图，过A做BC的平行线，与BF延长线相交于B'，由AB'∥BC，AF=CF，易证ABCB'为平行四边形，AB'=BC
\(\bigtriangleup BED\sim\bigtriangleup B'EA\\\Rightarrow\frac{\overline{AE}}{ED}=\frac{\overline{AB'}}{\overline{BD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{BD}}=\\\Rightarrow\frac{\overline{AD}}{\overline{ED}}=\frac{\overline{EA}+\overline{ED}}{\overline{ED}}=\frac{\overline{BC}+\overline{BD}}{\overline{BD}}=\frac{\overline{DC}+\overline{2BD}}{\overline{BD}}\\\frac{S_{\bigtriangleup ABC}}{S_{\bigtriangleup BED}}=\frac{S_{\bigtriangleup ABC}}{S_{\bigtriangleup ABD}}\cdot\frac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup EBD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{BD}}\cdot\frac{\overline{AD}}{\overline{ED}}=\frac{\overline{DC}+\overline{BD}}{\overline{BD}}\cdot\frac{\overline{DC}+2\overline{BD}}{\overline{BD}}\\\mathrm{同时}\\\frac{S_{\bigtriangleup ABC}}{S_{\bigtriangleup BED}}=\frac{S_{\bigtriangleup ABC}}{S_{\bigtriangleup FBC}}\cdot\frac{S_{\bigtriangleup FBC}}{S_{\bigtriangleup EBD}}=4\\\mathrm{所以}\\\frac{\overline{DC}+\overline{BD}}{\overline{BD}}\cdot\frac{\overline{DC}+\overline{2BD}}{\overline{BD}}=4\\\mathrm{化简得}\\2\overline{BD}^2-3\overline{BD}\cdot\overline{DC}-\overline{DC}^2=0\\\mathrm{解得}\overline{BD}=\frac{3\pm\sqrt{17}}4\overline{DC}，\mathrm{其中}\frac{3-\sqrt{17}}4\overline{DC}<0，\mathrm{应舍去}。\)

luyuanhong

楼上 小fisher 的解答很好！已收藏。

doletotodole

小fisher 发表于 2020-8-28 13:37
如图，过A做BC的平行线，与BF延长线相交于B'，由AB'∥BC，AF=CF，易证ABCB'为平行四边形，AB'=BC
\(\big ...

这个很精彩. 让我想到了三角形三条中线交于一点的证明方法. 原来构造平行四边形有奇效.