“毕达哥拉斯游程”之通解式及其证明

费尔马1

毕达哥拉斯游程的通解式及其证明
山东省兰陵县 程中战
由勾股数3 4 5连续正整数引出的思考
3^2+4^2=5^2
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2
21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2
36 37 38 39 40=41 42 43 44
55 56 57 58 59 60=61 62 63 64 65
78 79  80 81 82 83 84=85 86 87 88 89 90
105 106 107……111 112=113 114……118 119
136 137 138……143 144=145 146 ……151 152
……………………………………………………
左边n+1个连续平方数之和=右边n个连续平方数之和，其通解式如下:
左右共有2n+1个连续正整数，设中间的正整数为an，则数列通项公式是an=2n(n+1)，例，欲使等式右边为8个连续正整数，则a8=2*8*9=144，所以，有:
136 137 138 139 140 141 142 143 144=145 146 147 148 149 150 151 152
此法可以拓展至无穷。
证明:左边有n+1个平方数，右边有n个平方数，且从左到右底数为连续正整数，设这2n+1项的中间数是an，则有中项公式an=2n(n+1)。
由中项公式及正整数平方数列的前n项和公式可知，
(2n^2+n)^2+……+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2+……+(2n^2+3n)^2
则有，S(2n^2+2n)－S(2n^2+n－1)=S(2n^2+3n)－S(2n^2+2n)
即2S(2n^2+2n)=S(2n^2+3n)+S(2n^2+n－1)
代入公式得，(2/6)*(2n^2+2n)(2n^2+2n+1)(4n^2+4n+1)=(1/6)〔(2n^2+3n)(2n^2+3n+1)(4n^2+6n+1)+(2n^2+n－1)(2n^2+n)(4n^2+2n－1)〕
化简后，左边=右边=32n^6+96n^5+120n^4+80n^3+28n^2+4n
所以，毕达哥拉斯游程成立。
                       2020－8－28晚

朱明君

数列 1, 17, 98, 354, 979, ...... 的通解公式？

费尔马1

这个数列的项数给的太少了，数列 1, 17, 98, 354, 979, ...... 的通项公式？
请朱老师再给五项，也就是一共给10项，然后，我看看能不能解出其通项公式？
再者，请老师把这个数列的来历说明一下，也许可以帮助解题。

朱明君

费尔马1 发表于 2020-8-29 07:10
这个数列的项数给的太少了，数列 1, 17, 98, 354, 979, ...... 的通项公式？
请朱老师再给五项，也就是 ...

数列 1, 17, 98, 354, 979, 2275，4676，8772，15333，25333

费尔马1

数列1.17.98.354.979.2275.4676.....an=(1/5)n^5+(1/2)n^4+(1/3)n^3-(1/30)n
解题者 程中永

费尔马1

化简得an=(1/30)n*(6n^4+15n^3+10n^2-1)

费尔马1

求以下这个数列的通项公式？
数列 1 18 116 470 1449 3724 8400 17172 32505……

费尔马1

您知道以下这个中项公式是怎么推导出来的吗？
中项公式，an=2n(n+1)
请老师们推导这个公式？

费尔马1

，，，，

费尔马1

，，，，