一个代数数论问题

elim

设 \(n\in M=\{ m\in\mathbb{N}:\,\sqrt{m}\not\in\mathbb{N}\},\) 定义集合
\(E(n)=\{(m,k)\in\mathbb{Z}^2:\,0< k\mid n-m^2>0\}\). 令
\(\small\,\lambda(m,k)=\big\lfloor{\small\dfrac{\sqrt{n}+m}{k}}\big\rfloor,\;\eta(m,k)=\small\dfrac{n-(k\lambda(m,k)-m)^2}{k}\)
\(\psi(m,k)=(k\lambda(m,k) -m, \eta(m,k))\).
试证 \(\psi(E(n))\subset E(n)\). 讨论\(\,\psi\,\)是否是满射, 是否是单射.

elim

对 \((m,k)\in E(n)\) 记 \(m_1=\eta(m,k),\,k_1=\large\frac{n-m_1^2}{k}\) 则
\(\sqrt{n}-m_1=k\big({\large\frac{\sqrt{n}+m}{k}-\big\lfloor\frac{\sqrt{n}+m}{k}\big\rfloor}\big) \ge  0,\;(\sqrt{n}\not\in\mathbb{N})\)
\(\sqrt{n}+m_1=\sqrt{n}-m+k\lambda(m,k)\ge \sqrt{n}-m> 0\)
\(\therefore\;\;n-m_1^2 > 0.\) 易见 \(k\mid n-m_1^2 = kk_1,\)
\(\therefore k_1\mid n-m_1^2\; \) 于是 \((m_1,k_1)\in E(n),\;\psi(E(n))\subset E(n).\)

\(\because\;\,(-1,3),\,(2,3)\in E(7),\;\psi_7(-1,3)=\psi_7(2,3)=(1,2),\)
\(\psi_7\) 不是单射 (亦非满射).

注记 有限集到自身的映射为单射当且仅当它是满射．