求助：关于求弧长积分的困惑

wufaxian

涉及很多数学符号。所以直接上图了  。问题在最后一行。

小fisher

y=f(x)，dy=f'(x)dx，所以√((dx)^2+(dy)^2)=√((dx)^2+(f'(x)dx)^2)=√(1+(f'(x))^2) dx，这样就可以对dx求积分得到弧长了

wufaxian

小fisher 发表于 2020-9-9 08:51
y=f(x)，dy=f'(x)dx，所以√((dx)^2+(dy)^2)=√((dx)^2+(f'(x)dx)^2)=√(1+(f'(x))^2) dx，这样就可以对dx ...

谢谢回复。看后很受启发。在此把看后的理解写出来。请你看看是否有理解错误或不准确的地方。

积分，是求自变量发生微小变化时变量对应的微小变化，并将这种微小变化进行累加得到变量结果。利用原函数求积分。是求自变量发生微小变化时，所对应“变量”的原函数。所以计算原函数所用的“原材料”必须是一个只包含变量的表达式（当中不能包含自变量）。但是在求弧长的问题中，我们关心的变量不再时f(x)。而是弧长。弧长需要用变量和自变量放在一起才能定义（√((dx)^2+(dy)^2)）。但是这个原始的表达式中包含了自变量dx，因此不能作为求原函数的“原材料”。所以要将其变成一个只用变量f(x)来表示弧长的表达式。即“√(1+(f'(x))^2) ”。这样才符合求原函数的标准。--------以上不知道是否理解正确？

  如果以上理解正确，那么实际工作中是否有时通过实验获得的数据写成的方程，无法分离出纯f(x)表达式的情况。如果存在这种情况，那么是否意味着不可积分？或者不能用求原函数的方式来进行积分运算？是否存在这种情况呢?

小fisher

可以这样理解：假设曲线f(x)在[0,x]区间内截得的弧长可以表示为G(x)，G(x)的具体公式未知，但知道G(x)在任意x附近的微小增量d(G(x))=√(1+(f'(x))^2) dx，两边同时求积分，就可以得到G(x)=∫√(1+(f'(x))^2) dx。
求f(x)与x轴所夹面积同理，只不过面积在任意x附近的微小增量就是f(x)dx（所增加的矩形面积高度为f(x)，宽度为dx），所以直接求f(x)的原函数就可以得到面积。

永远

楼主说的是弧长，楼上却说的面积

永远

快沉啦，帮忙顶

wufaxian

小fisher 发表于 2020-9-10 11:03
可以这样理解：假设曲线f(x)在[0,x]区间内截得的弧长可以表示为G(x)，G(x)的具体公式未知，但知道G(x)在任 ...

谢谢指教。d(G(x))=√(1+(f'(x))^2) dx画龙点睛。我明白了。