二阶齐次方程的两个解为什么要相加？是否还有其他解？

wufaxian

如上图，解二阶齐次方程，提取出的特征二次方程（图中红框）有两个实根α和β。对应可以得到两个y的解（如图中红线标注的位置）。这两个y中任意一个带入二阶齐次方程都成立。可是最终的结果为什么将y1和y2加起来y = A*e^(αx) +B*e^(βx) 这是为什么？

其次。以上两个解确实可以时二阶齐次方程成立。但是书中所述是在已知结果的情况下解释特征二次方程的实根为什么可以求出二阶齐次方程的解。但是并没有提供在未知结果的情境下的解题思路。那么二阶齐次方程是否存在不包含 e^βx 形式的解呢？如何排除这种可能性呢?例如原方程如果cy这一项换成c，那解应该在“ y1和y2加起来y = A*e^(αx) +B*e^(βx) ”的基础上加任意常数k吧。这样就有无数解了。可以这么认为么？