求使得 50!／(5!)^n 为正整数的最大的正整数 n

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波斯猫猫

思路：显然，在50！中，最多能提供12个5，经检验，也能分别提供12个4、3、2，所以满足条件的最大值n为12.

注：早上没有考虑到25和50可分别提供2个5.

luyuanhong

题  求使得 50！/(5!)^n 为正整数的最大的正整数 n 。

解  5! = 120 = 2^3×3×5 。要被 (5!)^n 除尽，就要被 2^(3n)、3^n 和 5^n 除尽。

    在 50！中，有足够多的因子 2 和因子 3 ，可以不用考虑，只要考虑因子 5 就可以了。

    在 1,2,3,…,50 中，有 10 个 5 的倍数，所以至少有 10 个因子 5 。

    但是，在 1,2,3,…,50 中，还有 2 个 5^2 = 25 的倍数，即 25 和 50 。

    在 25 和 50 中，含有 2 个因子 5 ，所以上面计算的因子 5 的个数，还要加上 2 ，

这样，在 50！中，就有 10 + 2 = 12 个 5 的因子。

    所以，最多可以取 n = 12 ，这时 50！能被 5^n = 5^12 除尽，n 再大就不行了。


注  顺便，还可以验证一下，看 n = 12 时，50！是否能被 2^(3n) 和 3^n 除尽：

    在 1,2,3,…,50 中，有 25 个偶数，这样就至少有 25 个因子 2 。

    在 1,2,3,…,50 中，还有 12 个 4 的倍数，每个 4 的倍数，都至少含有 2 个因子 2 ，

所以 25 还要加上 12 ，这样，在 50! 中至少有 25 + 12 = 37 个因子 2 。

    如果考虑 8 的倍数、16 的倍数、…… ，则 50！中因子 2 的个数还要增加。

    当 n = 12 时，3n = 3×12 = 36 ＜ 37 ，所以 50! 能被 2^(3n) 除尽。

    在 1,2,3,…,50 中，有 16 个 3 的倍数，所以 50! 中至少有 16 个因子 3 ，可见

当 n = 12 时，50! 也能被 3^n 除尽。