设 a,b,c,d 是实数并且 a+b+c+d=a^7+b^7+c^7+d^7=0 ，证明：(a+b)(a+c)(a+d)=0

wintex

請問代數

波斯猫猫

设 a,b,c,d 是实数并且 设 a,b,c,d 是实数并且 a+b+c+d=a^7+b^7+c^7+d^7=0 ，证明：(a+b)(a+c)(a+d)=0=0 .

思路：（1）a,b,c,d都不为零
若a+b=0则结论成立。
若a+b≠0，则c+d≠0,且 a+b=-（c+d）。由条件有a^7+b^7+c^7+d^7=（a+b）（a＾6-a＾5b+...-ab＾5+b＾6）+（c+d）（c＾6-c＾5d+...-cd＾5+d＾6）=0
即a＾6-a＾5b+...-ab＾5+b＾6=c＾6-c＾5d+...-cd＾5+d＾6。
总可以令c=ka,d=mb，
则a＾6-a＾5b+...-ab＾5+b＾6=k＾6a＾6-k＾5ma＾5b+...-km＾5ab＾5+m＾6b＾6。
故1=k＾6=m＾6=k＾5m=km＾5=....。
满足上面关系式组的只有k=m=-1或k=m=1（当c=a,d=b时，a+b+c+d=2（a+b）=0,与条件a+b≠0不合），
所以，c=-a，即a+c=0.从而(a+b)(a+c)(a+d)=0。
（2）a,b,c,d中有一个为零，不妨令d=0、a＞0、b＞0
这时原题条件变为a+b+c=a^7+b^7+c^7=0  .
这时有a^7+b^7+c^7=a^7+b^7-（a+b）^7=-（C[7,1]a＾6b+C[7,2]a＾5b＾2+...+C[7,6]ab＾6）≠0,
所以，这种情形不存在。
（3）a,b,c,d中有两个为零，不妨令c=d=0
这时原题条件变为a+b=a^7+b^7=0，即a+b=0。这时证明的结论变为a+b=0。


注：本题告诉我们，在满足所给条件的四个非零实数组成的六对数中，至少有一对互为相反数。