完全没有交点的两个向量可以做叉乘么？

wufaxian

请看下图以及对应的答案



从以上解题过程引出一个问题，即p1 p2的连成的向量，未必与n向量有交点。针对这种情况可以求叉乘么？为什么？

之所以提出这个问题。是因为现在看到叉乘的例子都是两个向量有交点，且叉乘后形成的正交于平面的向量也与张成平面的两个初始向量交点相交。还没有遇到过两个初始向量没有交点的情况。

luyuanhong

其实，任何一个向量，它的位置都是可以任意平行移动的。

例如一个向量  v = 2 i - 2 k = (2,0,-2) 。

它可以看作是从 (0,0,0)   点出发，指向 (2,0,-2) 点的向量。

也可以看作是从 (1,0,0)   点出发，指向 (3,0,-2) 点的向量。

也可以看作是从 (1,2,0)   点出发，指向 (3,2,-2) 点的向量。

也可以看作是从 (1,2,3)   点出发，指向 (3,2,1) 点的向量。

因为向量的位置可以任意平移，所以任何两个向量都可以认为它们的起点是同一点。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-10-19 07:14
其实，任何一个向量，它的位置都是可以任意平行移动的。

例如一个向量  v = 2 i - 2 k = (2,0,-2) 。

谢谢lu老师的回复。以上所说任何向量都可以可以平移的。这句话是否有前提条件？例如在仅仅限于数学领域，或仅仅限于物理领域？

huangyx

wufaxian 发表于 2020-10-19 12:54
谢谢lu老师的回复。以上所说任何向量都可以可以平移的。这句话是否有前提条件？例如在仅仅限于数学领域， ...

新人答一发

按照一般数学的理解，向量是由向量空间的公理化定义而来的（定义后附），任何而不同时满足这些条件的元素都不能称作向量，或不能称作是在同一个向量空间的向量。如果桌子、椅子、啤酒杯通过合适的定义使其满足上述所有条件，那桌子、椅子、啤酒杯也能称作向量。

而根据物理中力的定义（作用点，大小，方向），只有位于同一作用点的力可以叠加，位于不同作用点的力不能叠加。显然从这里就可以看到，位于不同作用点的两个力肯定不是向量，或至少是一对不在同一个线性空间的向量，这也就是在物理中，力这个所谓“向量”不能平移的原因。

数学中的向量显然没有“作用点”这个概念，就无所谓能不能移动，即使在记法上向量 \(\vec{AB}\) 和向量 \(\vec{CD}\) 的起点不同，但只要两个向量大小方向都相同，那都可以认为两个向量相等。在这种情况下，叉乘在定义上就不需要考虑两个向量究竟是否相交。因为：
如果从物理中力的角度来思考这些向量，那所有数学中的这些向量（不论记法上起点是否相同）必然作用点相同，否则，如果作用点不相同，向量间甚至不能相加，当然也不能叉乘；
而如果从数学的角度思考叉乘，那叉乘根本就不管两个向量共线的问题，只要两个向量都在一个三维向量空间里就行了。

至于你说你看到的例子都是共点，那只是教材编写者方便初学者有个感性直观的初次理解而刻意简化的，后面要习惯所谓两个初始向量没有交点的情况。

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向量空间定义：向量空间是名为向量的一群元素的集合，存在向量加法和数乘两种运算（封闭性），使其满足1.加法交换律，2&3.加法和数乘结合律，4.存在加法单位元，5.存在加法逆元，6.存在数乘单位元，7&8.对数和对向量的分配律。

wufaxian

huangyx 发表于 2020-10-19 19:55
新人答一发

按照一般数学的理解，向量是由向量空间的公理化定义而来的（定义后附），任何而不同时满 ...

谢谢回复。物理上对向量是一种借用？觉得好用。拿来用就可以了。所以他不管你数学上怎么定义的。也不受数学定义的约束，只遵循物理定义。可以这么看么?

如同将叉乘应用到拧螺丝的问题上。螺丝下压方向和拧螺丝方向之间的关系，完全看螺丝扣是如何车的。所以与叉乘的右手定则无关。但是这里借用了叉乘的“算法”。将作用在扳手上的力*sinθ*扳手的长度。就等于力矩了。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-10-19 07:14
其实，任何一个向量，它的位置都是可以任意平行移动的。

例如一个向量  v = 2 i - 2 k = (2,0,-2) 。

lu老师，如你所说的例子。如果向量  v = 2 i - 2 k = (2,0,-2)  的起点是任何点。那么当我们判断向量V和空间向量PQ是否平行时岂不是将没有确切答案了？
不过按照运算求 V . PQ   /|V|*|PQ|   得出值求cos的反三角函数。如果结果为1。那么两个向量一定平行。可是按照你的回答。结果应该是不确定的。这不就出现矛盾了么？

另外，在书上看到的，有时给出一个向量，例如向量5i+7j+6k  。默认他是一个从坐标O点为起点以（5，7，6）为终点的向量。不过按照你上面的说法5i+7j+6k 的起点时不确定的。那么该向量的方向就是不确定的了。这不是跟向量的定义矛盾了？向量应该是有大小也有方向的才对啊。

luyuanhong

我们说向量的位置是可以任意平行移动的，注意：我们说的这移动，是“平行”移动。

因为是平行移动，所以不管怎样移动，移动后这个向量的方向是始终不变的，向量长度也是不变的。

正因为在平行移动中，向量的方向始终保持不变，所以楼上所说的种种问题，其实都是不会发生的。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-10-24 08:25
我们说向量的位置是可以任意平行移动的，注意：我们说的这移动，是“平行”移动。

因为是平行移动，所以 ...

谢谢lu老师回复。我是不是可以这么认为：
当课本上说：向量  v = 2 i - 2 k   或者说向量 (2,0,-2)  时，隐含向量起点时坐标原点O。
当课本上说：向量PQ时，明确向量起点是P，终点是Q。
所以，凡是向量必有起点和终点。因此才有大小和方向。0向量起点就是终点。没有方向。大小为0

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-10-24 08:25
我们说向量的位置是可以任意平行移动的，注意：我们说的这移动，是“平行”移动。

因为是平行移动，所以 ...

lu老师你好。我收到一条通知：
2020-10-24 20:52
luyuanhong 回复了您的帖子 完全没有交点的两个向量可以做叉乘么？  

但是我打开这条通知却发现贴在下面没有任何新的回复。是不是论坛的程序出bug了？