求 \(\underset{y\in[0,1]}{\max}{\large\int_0^y}\sqrt{x^4 + y^2 (1 - y)^2} dx\)

elim

题：求 \(\underset{y\in[0,1]}{\max}{\displaystyle\int_0^y}\sqrt{x^4 + y^2 (1 - y)^2} dx\)

天山草@

y=0.883701 时有最大值 0.463304，对否？

天山草@

上面是奇函数，下面是偶函数。[0, 1] 时积分结果对，[-1, 0] 积分结果要加上负号？

elim

谢谢天山草老师的精彩解答! 您的题目与原题略有不同  \(y^2(1-y)^2\) 与 \(y^2(1-y^2)\) 之差.

elim

原题没有天山草老师的精彩, 结果也比较简单, 供参考:

记 \(F(y):={\small\displaystyle\int_0^y}\sqrt{x^4 + y^2 (1 - y)^2} dx\). 我们有
\(\displaystyle{\small\frac{dF(y)}{dy} =}\sqrt{y^4 + y^2(1-y)^2} + y(1-y)(1 - 2y){\small\int_0^y\frac{1}{\sqrt{x^4 + y^2 (1 - y)^2}}} dx\).
因\(\;y\in (0, 1),\displaystyle{\small\int_0^y\frac{1}{\sqrt{x^4 + y^2 (1 - y)^2}}} dx\in\big(0,{\small\frac{y}{y(1 - y)}}\big)\),上式第二项的绝对
值不大于\(y|1-2y|\le y\sqrt{(1-2y)^2+2y(1-y)}=\sqrt{y^4+y^2(1-y)^2}.\;\)
故\(\,\small\dfrac{dF(y)}{dy}> 0\;(y\in[0,1])\),可见所求最大值为\(\,F(1)=\large\frac{1}{3}.\small\quad\square\)

ccmmjj

看得懂，想不到。

独舟星海

题不会做，学习一下公式编译器：\(\underset{y\in[0,1]}{\max}{\large\int_0^y}\sqrt{x^4+y^2(1-y)^2} dx\)

独舟星海

题不会做，练习一下公式编译器： \(\underset{y\in[0,1]}{\max}{\large\int_0^y}\sqrt{x^4+y^2(1-y)^2}\)\(d_x\)  上楼没有编好，花括号起着重要作用，如果涉及的不是一个字符时，要用花括号表明是一个整体，不知对花括号的理解是否对。