a,b,c 是互不相同的实数，证明：[(a-b)/(b-c)]^2+[(b-c)/(c-a)]^2+[(c-a)/(a-b)]^2≥5

luyuanhong

下面是网友 王守恩 发表在《数学中国》论坛上的一个帖子：

ccmmjj

这是王守恩的计算吗？

luyuanhong

ccmmjj 发表于 2020-11-2 19:05
这是王守恩的计算吗？

这是王守恩发表的帖子。

波斯猫猫

a,b,c 是互不相同的实数，证明：[(a-b)/(b-c)]^2+[(b-c)/(c-a)]^2+[(c-a)/(a-b)]^2≥5。

思路(显然不能用均值定理，采用逐次降元法)：a,b,c 是互不相同的实数，不妨考虑a＞b＞c，令a-b=x，b-c=y，a-c=z，则z=x+y（x、y、z∈R+）。
故[(a-b)/(b-c)]^2+[(b-c)/(c-a)]^2+[(c-a)/(a-b)]^2≥5等价于(x/y)^2+[(y/(x+y)]^2+[(x+y)/x]^2≥5，
或t^2+[(1/(t+1)]^2+(1/t+1)^2≥5  (令x/y=t，t＞0)，
即【t^4(t+1)^2+t^2+(t+1)^4】/[t^2(t+1)^2]≥5.
显然，上试成立的充要条件是t^4(t+1)^2+t^2+(t+1)^4-5t^2(t+1)^2≥0，
即t^6+2t^5-3t^4-6t^3+2t^2+4t+1≥0，或（t^3+t^2-2t-1）^2≥0（此处用待定系数法得到，此式恒成立）。

注：令f（t）=t＾3+t＾2-2t-1,则f（1）=-1，f（2）=7。故方程t＾3+t＾2-2t-1=0在区间（1,2）上必有正实根t=t1（其它两根均为负）,所以，当且仅当t=t1时，上式等号成立。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答也很好！已收藏。

波斯猫猫

该主题一个典型不等式“[(a-b)/(b-c)]^2+[(b-c)/(c-a)]^2+[(c-a)/(a-b)]^2≥5”的衍生题“（sinθ)＾4 +（cotθ）＾4 +（secθ）＾4 是否存在最小值？如果存在，最小值是多少？如果不存在，为什么？”已成“热贴”。数学的魅力在于思维变化多端，趣味无穷。

波斯猫猫

据“帖子”主人王守恩称：谢谢 波斯猫猫！我没去想那么复杂的，作题目纯属好玩，分解因式被电脑瞎撞上了(虽然是不太好找)。  发表于 2020-11-4 19:27。
此平方式的展开式有10+C(10,2)=10+45=55项，要把一个不大有规律的多项式凑成（a1+a1+a3+...+a10）＾2的形式，若用人工处理，绝不是分解分解因式那样简单？几乎是不可能的。即使逆向去验证，同样不会轻松。

波斯猫猫

请问“贴子主人”，该主题是“三元型”的，可否将其推广到四元型的、五元型的，乃至n元型的？若能，它们的最小值各是多少？这是对“贴子主人”提出的一个难题。

王守恩

波斯猫猫 发表于 2020-11-6 12:07
请问“贴子主人”，该主题是“三元型”的，可否将其推广到四元型的、五元型的、乃至n元型的？若能，它们的 ...

谢谢 波斯猫猫！我没去想那么复杂的，作题目纯属好玩。
一个多项式-5，上电脑分解因式，被电脑瞎撞上了。
虽然我还是换了好多多项式，5也换了，满意的就是不好找。