设 lim(n→∞)xn=a ，证明：lim(n→∞)｜xn｜=｜a｜。反之是否成立？请给出你的理由

永远

设\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = a\) ，证明：\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{x_n}} \right| = \left| a \right|\)，反之是否成立？请给出你的理由。

永远

反之是否成立？？？

永远

求助于陆老师，主要是反之是否成立

elim

\(a_n=(-1)^n, \;\displaystyle\lim_{n\to\infty}|(-1)^n|=1,\; \lim_{n\to\infty}(-1)^n\ne 1.\)

elim

\(\because\;\;||a_n|-|A||\le |a_n-A|\),
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A\implies \lim_{n\to\infty}|a_n|=|A|\).

elim

数学分析(不是工科高数)教科书不觉得生硬，你就OK了．

永远

陆老师晚上好，求指导

luyuanhong

永远

luyuanhong 发表于 2020-11-3 23:05

由题3可知当且仅当所求极限为0时，才有\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}|a_n|=|A|\implies \lim_{n\to\infty}a_n=A\).条件苛刻，可见此法解题的狭隘性，一般情况下所求数列极限并不一定为0.而当极限值不为0时\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}|a_n|=|A|\nRightarrow \lim_{n\to\infty}a_n=A\)，因此加绝对值方法并不怎么通用


看一个例子：求极限\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sin(\pi\sqrt{n^2+1})\)

e老师的回答：\(|\sin\pi\sqrt{n^2+1}|=|\sin\pi(\sqrt{n^2+1}-n))|=\sin\frac{\pi}{n+\sqrt{n^2+1}}\to 0\,(n\to\infty)\)。显然e老师用到的是题3的结论，而题3只有极限为0前提下才可能等价。如果极限值不为0，我请问你还能用这个结论?

elim

每个问题的最简解都是狭隘的. 你那些不狭隘的解从来就没帮你独立解解决什么问题.