解整数方程 615+x^2=2^y

elim · 发表于 2020-12-3 10:07

题: 解整数方程 \(615+x^2=2^y\)

elim · 发表于 2020-12-3 10:19

喜欢数论的朋友看看这题怎么解. Mathematica 说这个方程无解.

uk702 · 发表于 2020-12-3 10:44

若 y 是偶数，则 615=x^2-u^2=(x+u)(x-u)=1*615=5*123=...，然后逐个排除就可以了。
若 y 是奇数，则 x^2≡2u^2(mod 5)，也就是说, 2 是 5 的二次剩余，这并不成立，所以这种情况也无解。

elim · 发表于 2020-12-3 10:52

Mathematica 错了, 这个方程有整数解.

ataorj · 发表于 2020-12-3 12:05

本帖最后由 ataorj 于 2020-12-3 12:24 编辑

下面方括号表示二进制数
615=[1001100111]
2^y-615尾数为[0110011001] ...(2)
x又只能为奇数2a+1：
（2a+1）^2=4a(a+1)+1
a和a+1必有一个偶数，则x=8b+1：
（8b+1）^2=16b(4b+1)+1 ...（1）
则（1）式尾数恒为[0001]，与（2）不符，这表明原方程无解。

elim · 发表于 2020-12-3 12:05

\(615+59^2=4096=2^{12}\)

elim · 发表于 2020-12-3 12:08

题目仍然挑战各位: 这个解是怎么得到的, 如果不是乱凑数?

ataorj · 发表于 2020-12-3 12:40

我那个答案错在哪里呢？

ataorj · 发表于 2020-12-3 12:44

错在我把x和x^2搞混了。

王守恩 · 发表于 2020-12-3 13:24

本帖最后由王守恩于 2020-12-3 14:51 编辑

\(\ \ 由\sqrt{2^y-615}=整数，可得\)
\(1， y 是偶数：2^y(个位数是4,6)-5=完全平方数(个位数是9,1)。\)
\(2， y >10：2^y>615。\)

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解整数方程 615+x^2=2^y

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