写给焦永溢先生的话！

雷明85639720

写给焦永溢先生的话！
雷  明
（二○二○年十二月三日）

一、先说点应该怎么办与不应该怎么办的问题：
1、无论做什么事，都得从最坏处着想。把所有可发生的问题都要想到和考虑到，并制订出解决问题的方法和措施。才能在问题发生时，有应变的对策，立于不败之地；如果只认为有些问题不会发生或不可能发生，而不去想它和考虑它，那么当没有想到的问题发生时，就会措手不及，无从适措，造成大错。
２、四色猜测的证明也是一样，也要从最坏处着想，把各种不可避免的颜色冲突现象都考虑到，并研究出解决的办法，才能在以后的着色中，遇到类似的问题时，就能顺利的进行解决；否则，万一在着色中遇到了颜色冲突问题时，将会束手无策，没有应对的措施，使问题得不到解决，着色无法进行下去。
3、在这种情况下，你该说四色猜测是正确的呢？还是不正确的呢？说正确吧，你的确又没有把目前的这个图进行4—着色；说不正确吧，你过去所着过色的图却又都是只用了四种颜色就够用了。这种情况下，你将怎么办呢？给出一个什么样的结论呢？

二、下面说具体证明四色猜测的问题：
1、请你说说，在给任何一个极大图着色时，是不是在着色中途或最后（特别是最后）一定会遇到一个外围都着了颜色的顶点呢？这个问题，我想你是不会有不同意见的！
2、把这种还有一个顶点未着色、但其余顶点都用四种颜色着色、且符合四色要求的图叫做构形。把未着色的顶点叫做待着色顶点，并把其外围的顶点叫做围栏顶点。那么当待着色顶点的度是小于等于3时，围栏顶点是一定不会占用完四种颜色的，待着色顶点一定还是至少还有一种颜色可着的。
3、当待着色顶点的度大于等于4时，围栏顶点占用颜色的情况是有两种可能的情况：一是围栏顶点所占用的颜色数少于4种，这没问题，待着色顶点也一定是能着上图中已用过的四种颜色之一；另一种是围栏顶点所占用的颜色数等于4种时，这就叫颜色冲突问题。
4、如何通过使用坎泊的颜色交换技术，对已着过色的顶点中的少部分顶点进行颜色交换，从围栏顶点中空出一种颜色来，给待着色顶点着上，这就是解决颜色冲突问题的过程。
5、我已从理论上进行了分析，构造了各种不可避免的颜色冲突的构形，并且将这些不可避免的颜色冲突情况进行了解决。我可以做到，当给出一个只有一个顶点未着色的任何极大图时，我一定能把这个未着色的顶点着上图中已用过的四种颜色之一，使问题得到解决。焦先生若也能给出一个这样的图让我试试那就更好！我不光只是着了色完事，还会给你写出为什么要这样做的理论上的根据的。
6、你认为不会遇到颜色冲突问题，但你没有证明为什么不会出现颜色冲突问题。这样，你将在以后的着色中，一但遇到了颜色冲突问题时，有些你可能还可以解决，但有些你可能就解决不了。即就是你解决了的，可能你也说不出解决的理论依据。正象你遇到的重庆外围将要用到四种颜色时，你虽然也解决了，但为什么这样就可以解决，你却说不出道理来一样。遇到一个重庆问题，你轻而易举的解决了，再遇到了别的颜色冲突问题时，你能保证都能解决吗？
7、你可能也会同样的问我，你能保证遇到了颜色问突问题你都一定能解决吗？好的。这问题提得好。首先你只要认识到了有颜色冲突问题的存在，并且要进行解决之，这我们就有了共同的语言，就好进行研究讨论和交流了。
8、我前面为什么提出一个不可避免的颜色冲突构形的概念呢？就是说，除了所找出的这些构形外，就再没有颜色冲突的问题了。但这是要进行证明的。不是光只是用嘴说一下就了事的。其证明如下：
9、待着色顶点的度可以是无限多的，但任何极大图中都一定含有度小于等于5的顶点，这就决定了在着色过程中一定可以把待着色顶点放在度是小于等于5的顶点上。无穷问题就变成了有限的问题了。
10、待着色顶点的度小于等于3时，是不可能出现颜色冲突问题的。现在，有限问题的有限二字的范围又进一步在缩小，由5种度减少到只剩下了待着色顶点的度是4和5的两种情况了。
11、待着色顶点的度是4时，坎泊早已在1879年证明了这种请况的待着色顶点一定是能着上图中已用过的四种颜色之一的。其理论是：把用两种颜色交替着色的道路叫做色链，简称链。链中两种颜色均不相同的两条链叫做相反链。那么，这两条相反链是不能相互穿过的，当一条链是环形链时，另一条相反链只能被隔在该环的两侧，互相不连通。这就是解决待着色顶点是4—度时的理论依据。
12、待着色顶点是4—度时的颜色冲突构形中，如果有一对对角围栏顶点间的链是连通的，则其一定与待着色顶点是构成了环的（如图1）。这时另一对对角围栏顶点间的色链一定是不连通的。从不连通的一对对角围栏顶点的任何一个顶点开始交换该链中的两种颜色，就可空出一种颜色来，给待着色顶点着上（如图2和图3）。这就解决了待着色顶点是4—度时的颜色冲突问题。现在有限的范围就只剩下度是5的不可避免的待着色顶点的颜色冲突问题了。

13、实际上，解决5度的待着色顶点的颜色冲突模型的办法也与此是相同的。都是在应用两条相反链不能相互穿过这一基本原理的。

14、待着色顶点的度是5时，除了有一条连通链外，还有两条连通链的（如图4和图5）。因为这时的围栏顶点中一定有一种颜色是用了两次的，这就为生成两条连通链创造了条件。两条连通链的起始顶点是同一个围栏顶点时的情况（如图4），又有两链是互不交叉的（如图4）和相互交叉的（如图6）两种。互不交叉的一种，坎泊也在1879年用相反链相互不能穿过的原理解决了，也即是连续的移去了两个同色给待着色顶点着上。现在就只剩下两条连通链是相互交叉的一种情况了。这就叫有双环交叉链的情况。

15、因为有些构形虽有双环交叉链，但还是可连续的移去两个同色B的（如图7）。所以有双环交叉链的构形，又可分为可连续的移去两个同色B和不可连续的移去两个同色B的两类构形。可连续的移去两个同色B的构形本身就是可约的，现在又只剩下有双环交叉连中不可连续的移去两个同色B的一种情况了。
16、不能连续的移去两个同色B的有双环交叉链的构形，是四种颜色一种也不能直接从围栏顶点中空出来的。但如果能够把双环交叉链断开，构形也就转化成了坎泊早已证明过的是可4—着色的可约构形了。想要断开双环交叉链，就必须改变下列关键顶点中任一个顶点的颜色。这四种关键顶点就是两条交叉链的共同起始顶点2A和交叉顶点8A（都是单个顶点），或两条交叉链的末端顶点5C和4D（两个相邻顶点），以及两条交叉链的交叉顶点8A之前各链中的第一个顶点6C和7D（也是两相邻的顶点）。
17、首先看看图中是否含有经过了围栏顶点的环形链，并且该环链还要把另一条相反链上的关键顶点分隔在环的两侧。如果有（如图8和图9），就可以从环形链没有经过的围栏顶点开始，交换环形链的相反链，使双环交叉链断开，成为坎泊已经证明过是可以空出颜色给待着色顶点的可约构形。这种交换方法叫断链交换法。如果没有经过围栏顶点的环形链（如图10和图11），则就只能用转型交换法了。


18、转型交换法是先移去一个同色顶点的颜色，使构形转型，即先从一个同色顶点交换有关两个同色链中的一条，使得构形的峰点（两个同色顶点所夹的顶点）和两个同色顶点（峰点两侧的顶点）的位置和颜色都发生改变，也即构形的类型发生了改变，所以叫转型交换（如图12和图13），然后再看能否空出颜色来。一次转型不行，就再继续的进行同方向的转型，以至多次转型。无经过围栏顶点的环形链的构形，虽有较多的破坏双环交叉链的方法（如改变局部环形链内的相反链，使双环交叉链中的一条断开；改变图中的个别顶点的颜色使构形转化为有经过了围栏顶点的环形链的构形；或只进行一次转型，使构形直接转化成有经过了围栏顶点的环形链的构形，或转化为可以连续的移去两个同色的构形等），但用得最多的还是连续的转型交换的方法。因为该方法可以一次性的使两条双环交叉链都断开，使构形直接转化成坎泊已证明过是可连续的移去两个同色的可约的构形了。可以证明连续转型交换的最大转型次数一定是有限的，且是不大于5次的（有关理论证明请焦先生自已看我最近的有关文间章）。

19、现在已经把各种可能的颜色冲突问题的构形都找到了，并且也都解决了，也不可能再有别的颜色冲突问题了。请焦先生看一下，是否能指出还有遗漏吗？四种颜色所能构成的六种色链都涉及到了。A—C和A—D两链中只要有一条能交换的，或者只要B—C和B—D两链能连续的交换，都是坎泊已经解决了的可约构形；而在这四种链都不可进行交换的构形中，我们又分析了A—B链和C—D链分别是经过了围栏顶点的环形链和都是不经过围栏顶点的环形链的两种情况。我认为把各种颜色冲突问题的构形都已考虑完全了，不会再有别的情况了。
20、到此，能不能说四问题就解决了呢？还不能。因为以上用的都是非极大图的、非具体图的构形，还得要在极大图中找到与其对应的极大图模型。用敢峰先生的转型演绎的办法，可以构造出如图14和图15的两个极大图基本模型（把图15转化成标准画法时则是图16）。其中一个是有双环交叉链的且有经过了围栏顶点的环形链的构形，另一个是有双环交叉链但无经过围栏顶点的环形链的构形。对这两个模型通过加顶、加边或去顶、去边的办法，只要不改变图中基本链间的相互关系，就可得到有任意顶点数的极大图构形或任意的平面图。相同类型的极大图构形，都可用相同的办法进行解决。这就解决了极大图的四色问题。当然也就解决了地图的四色问题。同时也解决了任意平面图的四色问题。其他的基本模型这里就不再多说了。

21、只有解决了各种颜色冲突构形的着色问题后，才能叫做证明了四色猜测是正确的。也才能在着色中立于不败之地，遇到任何颜色冲突问题时，就都能够解决。否则，只是一个劲的着色，可能也会都是很顺利的，但若遇到一次不顺利，恐怕你就很难解决了。那时再找解决的办法就晚了。即就是找到了，解决了，但你却仍然还是不知道还有没有别的颜色冲突问题了，也不知道以后还会不会再遇到这样的颜色冲突问题。这不显得非常被动吗？


三、现在再说点更具体的问题：
1、焦先生说：“按我的减少合并方法去操作时，是必须要有前提的，就是这个轮的外围点之间绝对不能有短路，一旦有短路，这个轮就绝对不能进行去中心点合并外围点的处理。”而我却认为只要是有了短路顶点时的轮不但一定是4色的，而且这样的轮也是可以去中心顶点与合并外围顶点的，最后不管是偶轮还是奇轮，都得用四种颜色，没有例外。并且我还认为没有必要去中心顶点与合并外围顶点，直接着色就行了，用两种颜色交替的对轮的围栏顶点进行着色就可以了。这个轮一定不会用到第五种颜色，也决不会只用三种颜色。你这样去顶，合并，反倒不直观，实在太麻烦，你这才是实足的画蛇添足！
2、你说了：“还有一条虽不是绝对必须的前提，却也是应该遵守的常识，就是在图上具体着色时，必须按次序逐渐进行，不能东着着再西着着，否则东丶西丶南丶北各个方向各自分别着色的各个轮，外围的点在相遇时就可能会产生着色冲突，唯有依次着过去，才不会产生着色的冲突。”的确，你在对中国地图的着色时，也是一个顶点接着一个顶点的着的，我已经认真的看过多少次了。但你为什么却还是出现了重庆着色时那样的颜色冲突问题呢？以致你自已也不得不在着色的文字说明中说：湖南“只所以不用与外面一样的黄色，是因为若用黄色会使重庆外围的颜色多达四种”，这不就是说遇到了颜色冲突是什么呢？
3、当别人指出了你对重庆的着色，就是遇到了颜色冲突问题，并对其进行了解决之后，你却说：“我这个给中国地图着色，是东边着着再西边着着才会产生这种冲突的。”请问，你已经指出了这样的着色一定会出现颜色冲突问题的，为什么又要东着着西着着呢？为什么又不按自已所说的方法去着呢？这不是口是心非吗？你这样的说法分明是在掩盖你已经遇到了颜色冲突的问题。你对中国地图的着色明明白白的是一个顶点接一个顶点的着的，怎么能说是东着着西着着的呢？要你不要东着着西着着的再着色一次，你却为什么又不敢再着呢？是怕再遇到了颜色冲突问题吗？
4、焦永溢还说：“只要严格按上面说的这两条原则去做，就绝对不会遇到颜色的冲突了。凡是所遇到的冲突的情况，都是操作时没按这两条原则而引起的。当然如果遇到冲突，可以有方法去把这个要冲突的点的颜色逐步调出来，但要牵一发而动全身，一个一个的要换许多点的颜色，操作起来很繁琐也容易搞糊涂，我可不原去搞这种遇到冲突再去解决的研究，就简单的用减少和合并的办法把整个最大平面图进行化简，把任何复杂的最大平面图最后简化成只剩三点包围一点（这是从平面上看，从球面立体上看就是四个顶点四个面六条棱的四面体），或者只剩三个点的三边形（这是从平面上看，从球面立体上看就是三个点两个面三条棱的二面体）。”我看这也未必。你对中国地图着色时，不是也一个顶点接着一个顶点的着了吗？为什么还遇到了重庆的颜色冲突问题呢？在处理重庆着色时，你不也是很简单的把湖南应着的黄色改成了红色就可以了吗（当然还有其他方法是可以解决的，而不只是这一种方法）？这不也没有“牵一发而动全身”吗？操作起来不也是很方便吗？
5、你虽把重庆的着色问题解决了，但你却不知道为什么要那样去解决？不知道为什么那样做就一定能够解决？你只是知道简单的这样换一下湖南的颜色就可以解决，只知道重庆的围栏顶点的颜色减少了一种，就达到了目的，就不再去研究了。但当以后再遇到这样的问题时，你将又如何处理呢？万一改动了湖南这样的顶点还不行，或湖南这样的顶点又不能改动怎么办呢？你研究了没有呢？
6、以上的这些改动都必须是在两条相反链是不能相互穿过的基本理论的前提下进行的。色链，相反链，直链，环形链，相反链间互相不能穿过等等，这些你都研究过没有呢？你不去研究这些，你还研究什么四色问题呢？

请焦永溢回答我以上的问题说得是对，还是不对，错误在那里，最好能说得具体一些，若能画图说明更好。


雷  明
二○二○年十二月三日于长安

注：此文已于二○二○年十二月四日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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