a≥b≥c≥d 为非负实数，满足 a^2+b^2+c^2+d^2=4 ，证明：abcd+√3/2(a-d)≥1

uk702

a,b,c,d 为非负实数且满足 a ≥ b ≥ c ≥ d，并且 a^2+b^2+c^2+d^2=4, 证明 abcd+√3/2(a-d)≥1。

有位神仙给出了如下的证明，见附图。

即使神仙给了我证明，我也看不懂，更搞不明白怎么个来龙去脉，也不知是对是错。有没有哪位超级仙家能给咱讲一讲，让咱也沾沾仙气？

uk702

借助于 Mathematica，在原作者的提示下，好象还真能得出证明。

王守恩

别问我是怎么来的，参考《已知 x^2+y^2+z^2=8 ，求 z^2yx/[6(z+y)] 的最大值》
\(1=(\cos a)^2+(\sin a\cos b)^2+(\sin a\sin b\cos c)^2+(\sin a\sin b\sin c)^2\)
\(4=(2\cos a)^2+(2\sin a\cos b)^2+(2\sin a\sin b\cos c)^2+(2\sin a\sin b\sin c)^2\)
NMinimize[{16Cos[a]Sin[a]CosSin[a]SinCos[c]Sin[a]SinSin[c]+Sin[\[Pi]/3](2Cos[a]-2Sin[a]SinSin[c]),
(2 Cos[a])^2 + (2 Sin[a] Cos[ b])^2 + (2 Sin[a] Sin Cos[c])^2 + (2 Sin[a] Sin Sin[c])^2 == 4,
  Cos[a] >= Sin[a] Cos >= Sin[a] Sin Cos[c] >= Sin[a] Sin Sin[c] > 0}, {a, b, c}]
  {1., {a -> 1.0472, b -> 0.955317, c -> 0.785398}}

uk702

王守恩 发表于 2020-12-11 19:45
别问我是怎么来的，参考《已知 x^2+y^2+z^2=8 ，求 z^2yx/[6(z+y)] 的最大值》
\(1=(\cos a)^2+(\sin a\co ...

另外你的方法看看能否求解 ,a≧b≧c≧d≧e≧f≧0 且 a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2 = 6 时，证明 abcdef  + sqrt(5/6)(a-f) ≧ 1?

网上有人问那位神仙，他的方法能不能证明这个不等式，他回答得很干脆，No。

王守恩

uk702 发表于 2020-12-11 20:47
另外你的方法看看能否求解 ,a≧b≧c≧d≧e≧f≧0 且 a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2 = 6 时，证明 abcdef  +  ...

别问我是怎么来的，参考《已知 x^2+y^2+z^2=8 ，求 z^2yx/[6(z+y)] 的最大值》
NMinimize[{216cos[a]coscos[c]cos[d]cos[f]sin[a]^5sin[ b]^4sin[c]^3sin[d]^2sin[f]
+sqrt[5](cos[a]-sin[a]sinsin[c]sin[d]sin[f]),
cos[a]/(Sin[a]sin) >=cos/sin >= cos[c] >= sin[c]cos[d] >= sin[c]sin[d]cos[f] >= sin[c]sin[d]sin[f],
  a > b > c > d > f > 0}, {a, b, c, d, f}
{1., {a -> 1.15026, b -> 1.10715, c -> 1.0472, d -> 0.955317, f -> 0.785398}}

王守恩

王守恩 发表于 2020-12-12 08:14
别问我是怎么来的，参考《已知 x^2+y^2+z^2=8 ，求 z^2yx/[6(z+y)] 的最大值》
NMinimize[{216cos[a]c ...

别问我是怎么来的，参考《已知 x^2+y^2+z^2=8 ，求 z^2yx/[6(z+y)] 的最大值》
NMinimize[
{4096 Cos[a] Cos Cos[c] Cos[d] Cos[f] Cos[g] Cos[h] Sin[ a]^7 Sin^6 Sin[c]^5 Sin[d]^4 Sin[f]^3
Sin[g]^2 Sin[h] + Sqrt[7] (Cos[a] - Sin[a] Sin Sin[c] Sin[d] Sin[f] Sin[g] Sin[h]),
  Cos[a]/(Sin[a] Sin Sin[c]) >= Cos/(Sin Sin[c]) >= Cos[c]/ Sin[c] >= Cos[d] >= Sin[d] Cos[f] >=
Sin[d] Sin[f] Cos[g] >= Sin[d] Sin[f] Sin[g] Cos[h] >= Sin[d] Sin[f] Sin[g] Sin[h],
  a > b > c > d > f > g > h > 0}, {a, b, c, d, f, g, h}]
{1., {a->1.20943, b->1.1832, c->1.15026, d->1.10715, f->1.0472, g->0.955317, h->0.785398}}