求无穷级数 ∑(n=1,∞)ln(n)/n^2 之和

永远

求级数\(\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\ln n}}{{{n^2}}}} \)的和。

永远

答案：-ζ'(2)

永远

求助于陆老师，天冷了，下雪了，老师注意身体，晚上好，我想一天了，怎么构造级数先积分后求导？？？？？

doletotodole

抽出一个1/N, 令其为dx, 构造lnx/x的函数, 积分0-1的lnx/x, 得0-1 S(lnx/x)dx.
是否可行?

elim

\(\because (a^x)'=a^x\ln a,\;\therefore\;{\large\frac{d}{ds}(\frac{1}{n})^s}={\large(\frac{1}{n})^s}\ln{\large\frac{1}{n}}=-\large\frac{\ln n}{n^s}\)
对\(\,\small\sigma\in(1,2),\,\)有\(\small\;\,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{\sigma}}<\infty,\;\frac{1}{n^s}<\frac{\ln n}{n^s}<\frac{\ln n}{n^{\sigma}}\;(n>3,\,s>\sigma).\)
据 Weierstrass 判别法, \(\small-\zeta'(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^s}\;(s>1)\)

永远

，怎么构造级数先积分后求导？？？？？

永远

elim 发表于 2020-12-13 22:58
\(\because (a^x)'=a^x\ln a,\;\therefore\;{\large\frac{d}{ds}(\frac{1}{n})^s}={\large(\frac{1}{n})^s} ...

利用熟悉的结论，逆推法，淘汰的方法，前提是有过黎曼截塔函数相关知识，如果没有，你第一行是不可能想到求导逆推的。还是规矩一点按照课本先构造级数求积分在求导

永远

求助于陆老师，怎么构造级数求积分在求导，能做吗

elim

永远 发表于 2020-12-13 09:44
利用熟悉的结论，逆推法，淘汰的方法，前提是有过黎曼截塔函数相关知识，如果没有，你第一行是不可能想到 ...

构造级数求积分再求导就是利用熟悉的结论,逆推法,淘汰的方法做事情.

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。