《四色猜想的独特证明》与《肯普证明的完善》异曲同工

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                                                          《四色猜想的独特证明》与《肯普证明的完善》异曲同工
                                                                                          张彧典


        对称性是数学美的最重要的特征;是数学家追求的目标;也是数学发现与创造中的重要的美学因素。著名德国数学家和物理学家魏尔说:“美和对称紧密相连。”由于现实中处处有对称,既有轴对称、中心对称等的空间对称,又有周期、节奏和旋律的时间对称,还有与时空坐标无关的更为复杂的对称。作为研究现实世界的空间形式与数量关系的数学,自然会渗透着圆满和自然的对称美。
   数学的对称美分为两种:
   一种是数(式)的对称性美,主要体现在数(式)的结构上,例如,加法的交换律a+b=b+a,乘法的交换律ab=ba,a与b的位置具有对称关系, 但又是可以变化的,变化的结果与原来的位置反而形成一种整齐的美感、均衡感,简洁明快,一目了然,代数式是数(式)的对称式,结构严谨、特殊,了解这类问题一定需要特殊的方法,从而显示了它的神秘感、奇妙感。
   另一种是图形的对称性,整体美、简洁美,图形的对称是指组成图形的部分与部分之间、整体与整体之间的一种统一和谐的关系  。  
   在《四色猜想的独特证明》中，我们利用四色顶点四边形的性质定理，即改变四色顶点四边形对角链的方法确立了15个非十折对称几何结构的构形，组成一个最小不可避免集。
我们仔细分析这15个构形的几何结构 以及色图，不难看出它们之间具有如下的对称美，如图1所示：


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                    图1
图1中以Z8构形以及下面的垂直线为对称轴，在对称轴左边，从下到上顺时针排列了Z1----Z7七个构形 ，在对称轴右边，从上到下排列了 Z9-Z15七个构形。
   1、看它们的生成，所改变的对角链（粗黑线）的位置，呈现两两左右对称性；
   2、看它们的色图，即A-C、A-D两个环（红色、绿色）的相交位置，呈现两两左右对称性；
   3、看它们在E族构形中的分布，沿着E4-- E1 --E3--E2的顺序周期变化，
其中，   E1与E1   
       E2 与E2   
       E4 与E3
分别呈现左右对称性。
   4、看它们的颠倒染色次数，按照逆时针与顺时针方向计算，呈现两两左右对称性，
即：Z1与Z15          颠倒染色2次
   Z2与Z14          颠倒染色3次
   Z3 与Z13         颠倒染色4次
   Z4与Z12          颠倒染色5次
   Z5与 Z11         颠倒染色6次
   Z6与Z10          颠倒染色7次
   Z7与Z9           颠倒染色8次
     Z8             颠倒染色9次
   不难看出，Z8达到了最高境界--------自身左右对称，即不仅色图—A-C、A-D两条链呈现自身左右对称，改变的对角链也呈现自身左右对称---正好位于对称轴上。正是由于自身的两个特殊左右对称性，所以决定了其解法上的特殊性----具有最高颠倒染色次数9。
   这种颠倒染色次数的左右对称性，不仅表明我们确立的15个非十折对称几何结构的不可避免构形是完备的，而且按照解法的不同，完全可以把它们简化为Z1----Z8八个。
   这样的简化，启发我们，对于大于9次颠倒染色次数的构形，都可以运用与其颠倒方向相反方向的H染色程序求解，次数不会大于9次。比如已经知道的逆时针颠倒染色次数为10次、甚至22---26次的几个构形，当运用顺时针颠倒染色，次数都没有超过9次，如图2。  

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   图2：对4个构形施行H染色程序时，逆时针颠倒染色次数都大于20次，但是当对它们施行顺时针颠倒染色时都没有超过9次。

   这样的结论，与我们在《肯普证明的完善》【2004年发表于山西忻州师范学院学报（自然版）第二期，署名张域典】中，按照四色地图所固有的的6大色链的不同数量组合、不同位置组合即相交组合所产生的8大构形不谋而合。表明我们的《肯普证明的完善》的确已经完善了肯普有漏洞的证明，与《四色猜想的独特证明》有异曲同工之妙！
   可以说，《四色猜想的独特证明》是《肯普证明的完善》的理论性（即定理3）升华！
   至此，实现了清华大学林翠琴教授1996年就给我提出的目标：
   如果你能够证明“对任何极大平面图经过有限次颠倒染色以后可以4-染色”的话，即大功告成，那将是震惊世界的成果！

   尊敬的读者：你如果想看到图文并茂的，请你到中国博士网数学论坛。