黎曼函数的黎曼积分

elim

试证：黎曼函数 \(R(x)=\begin{cases}0,& x\in[0,1]-\mathbb{Q}^+,\\{\large\frac{1}{q}},& x={\large\frac{p}{q}}\le 1\,\small(p,\,q\in\mathbb{N}^+,\gcd(p,q)=1).\end{cases}\)
在\([0,1]\)的每个有理点间断，无理点连续．然而\(\displaystyle\int_0^1R(x)dx =0\)

elim

检验是否真懂函数,连续和积分的好题.

wangyangke

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doletotodole

我听说随机取一个有理数的几率是0, 所以积分是0.
哈哈.

doletotodole

很期待严谨的分析, 感觉一般人做不出来, 大学不学实数的稠密度啥的.

永远

doletotodole 发表于 2020-12-22 23:24
很期待严谨的分析, 感觉一般人做不出来, 大学不学实数的稠密度啥的.

没上过大学，我也不知道，可能工科的不学，但数学系的可能学

elim

doletotodole 发表于 2020-12-22 08:22
我听说随机取一个有理数的几率是0, 所以积分是0.
哈哈.

哈哈. 基础数学和数学基础还是不一样. 前者似乎指技术性, 严谨性在入门不久的水准, 后者是维系数学的理论基石, 经得起追问, 在基础数学的层次上比较靠谱.

设\(x\)是\([0,1]\)中的无理数, 对\(n\in\mathbb{N}^+,\;[0,1]\,\)中分母不大于\(\,n\,\)的既约
分数\(\,\frac{p}{q}\) 只有有限个, 所以存在某\(\,\delta_n>0,\,\)使得\((x-\delta_n,x+\delta_n)\) 中的既约
分数的分母都大于\(\,n.\,\) 据黎曼函数的定义,\({\small\,0\le R(t)< }\frac{1}{n}\) 即
\({\small |R(t)-R(x)|<}\frac{1}{n}\;\small(\forall t\in(x-\delta_n,x+\delta_n)).\;\therefore\displaystyle\lim_{t\to x}{\small R(t)= 0 = R(x)}\)
类似地证明\(\displaystyle\,\lim_{t\to p/q}\small R(t)=0\ne {\scriptsize\dfrac{1}{q}}=R({\scriptsize\dfrac{p}{q}})\;(p,(\le)q\in\mathbb{N}^+,\;\gcd(p,q)=1)\)