证明：若正整数的平方根不是整数，则必为无理数

elim

题：若正整数的平方根不是整数，则必为无理数．

elim

题：试证若\(\,m\in\mathbb{N},\sqrt{m}\not\in\mathbb{N},\;\)则\(\sqrt{m}\not\in\mathbb{Q}.\)
证：若有某\(\,p,q\in\mathbb{N}\,\)使\(\sqrt{m}=p/q,\,\)可设\(\,q\,\)是使之成立的最小正整数.
\(\qquad\)此时必有\(\,\gcd(p,q)=1,\,p>q>1.\;\)有\(\,k,r\in\mathbb{N}\,\)使\(\,p=kq+r\)
\(\qquad(q>r>0).\;\)由\(\,\sqrt{m}q=p\,\)得\(\,\sqrt{m}p=mq\,\)后一式减去\(k\times\)前一式
\(\qquad\)得\(\,\sqrt{m}r=\sqrt{m}(p-kq)=mq-kp,\;\sqrt{m}={\small\dfrac{mq-kp}{r}},\,q\,\)非所称
\(\qquad\)最小. 此为矛盾. 故\(\,\sqrt{m}\not\in\mathbb{Q}.\quad\small\square\)

注记：上述证法叫作【无穷递降法】Infinite descent method.
在毕达哥拉斯的古希腊时代已有使用. 之所以称为无穷递降, 拿主贴为例, 不假定\(\,q\)
的最小性, 就没有矛盾, 于是从\(q\)得\(r\)的过程可以不断重复, 这就产生了无穷递降现象,

ataorj

这不太简单了吗？
反证法，假设√n=p/q,(q≠1;p,q互质)，有
pp=qqn
等号左边只有p的质因数，必然包含右边各数的质因数，当然包括q的的。即p,q有公因数，出现了矛盾，所以假设是不成立的。

ataorj

这个有意思：
√4=?
-2行吗？
记得讨论过，好像我说不行，原因忘了。。。

luyuanhong

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