再谈转型交换的最大次数问题——还要再与张彧典先生商讨

雷明85639720

再谈转型交换的最大次数问题
——还要再与张彧典先生商讨
雷　明
（二○二一年元月二日）

转型交换虽然是在解决有双环交叉链的5—轮构形的可约性问题时提出的，但实际上对于任何5—轮构形都存在着这种转型。从5—轮的两个同色顶点中的任何一个顶点开始，交换与其对角顶点的颜色构成的色链，只要这条色链在这两个对角顶点间不连通时，5—轮构形的峰点位置和颜色都会发生变化，两个同色顶点的位置和颜色也同样会发生变化。如BAB型的5—轮，在从两个同色顶点的任一个顶点B交换了与其对角的顶点C或D的B—C链或B—D链后，可分别转化成DCD型的或CDC型的5—轮构形。同方向的连续进行这种交换，5—轮就会连续的转型。
一个5—轮进行转型时，先是在BAB—DCD—ABA—CDC—BAB（或BAB—CDC—ABA—DCD—BAB）之间进行着周期是4的小循环转型。小循环是构形类型的循环，是以构形峰点的颜色的变化进行循环的，共有四种颜色，当然小循环的周期就一定是4了；当转形次数达到20次，即经过了5个小循环时，5—轮的各顶点的颜色回复到转型的初始状态，与原图一模一样，一个大循环开始形成。大循环是构形中各顶点的颜色全部都回复到初始状态的循环，共有四种颜色，5—轮的围栏顶点共有五个位置，构形各顶点的颜色都要回复到初始状态时，就必须有4×5＝20次转型，才能回复到最初始的123——BAB型的构形，所以大循环的周期就是20了。然后继续的进行同方向的转型，同样是每转型4次，是一个小循环，5个小循环完成后，又开始了以20为周期限的大循环。以后就周而复始的进行下去，永不休止。
一个5—轮是这样，埃雷拉图等也是这样。我们现在所知道的具有无穷周期转型的构形中都有经过了构形关键顶点的环形链，都可以用断链交换法使其直接转化成可约构形，使问题得到解决；我们也还知道一些转型次数不到20次和大于20次的有限转型的构形也是可约的，这些构形中也都含有经过了构形关键顶点的环形链，也是可以用断链法使其直接转化成可约构形的。这样的构形如张彧典先生的Z11—Z15五个Z构形，还有我与张先生共同构造的需要转型次数在20次以上的几个构形等。
现在要问，这样的转型次数已大于20，但又为什么不会产生大循一环套小循环的无穷周期循环的现象呢？关键是在达到了20次转型时，构形并没有回复原来的初始状态，虽然构形围栏顶点的颜色回复到了原来的颜色，但还有其他的顶点并没有回复到原来的颜色。大于等于20次转型的构形，在第20次转型时没有回复到初始状态，这就决定它不可能再产生每20次转型一个大循环了。
这样的构形，要么一种情况是小循环若干个周期后就解决问题，变成可约构形；要么另一种情况就是小循环就可能永远不会结束，无限的转型下去。谁也不能否定任何一个可能性。谁也不能保证就不可能再有转型次数大于25次，也不可能再回复初始状态的构形了。当然，解决了问题，变成了可约构形，这是我们所盼望的；但若存在这样的只有无休止的小循环，而没有大循环的永远也不可能结束转型的构形，那将使四色猜测无法证明下去。
还要不要证明呢？当然还是证明要的！我们可以把埃雷拉图等与以上这些转型次数是有限和无限的构形，按照它们都有经过了构形关链顶点的环形链，全可归为一类，叫作“有经过了构形关键顶点的环形链的构形”。统一用断链交换法进行解决，也就不存在以上那些苦脑了。也不存在还想用转型交换法解决非埃雷拉图类的构形，但又耽心只有小循环而没有大循环且永远不可能结束转型的构形有存在了。就可以集中力量来解决“无经过构形关键顶点的环形链的构形”的可约性问题。
敢峰先生用转型演绎的方法构造了埃雷拉图，代表有经过了构形关键顶点的环形链的构形，可以用转型交换法解决；我也仿照敢峰的方法构造了无经过构形关键顶点的环形链的构形，也能代表无经过构形关键顶点的环形链的构形，可以在5次转型之内使构形转化成只有一条连通链的可约构形，或转化成有经过了构形关键顶点的环形链的可约构形。且在转型过程中，构形还有转化成有经过了构形关键顶点的环形链的可约构形的机会，可以改用断链交换换法提前结束转型。张先生的Z1—Z5和Z11—Z15，张彧典先生的第八构形，以及欧文构造的那个很特殊的无经过构形关链顶点的环形链的构形，都是这样的构形，都可以在5次转型之内可以转化成可约构形或经过了构形关键顶点的环型链的可约构形。
现在所有的具有双环交叉链的不可避免的构形都是可约的了。这就使得四色猜测得到了证明是正确的。

雷  明
二○二一元月二日于长安

注：此文已于二○二一年元月二日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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