已知 a(1)=1，a(n)＞0，a(n+1)^2=a(n)^2+a(n)，求数列 {a(n)} 的通项公式

永远

\(已知：{a_1} = 1，{a_n} > 0，a_{n + 1}^2 = a_n^2 + {a_n}，求通项{a_n}。\)

uk702

初步尝试了一下，a1 = \(c_1\), \(a_{n+1}^2=a_n^2+a_n， a_n\) 的最佳近似公式应该是 n/2+c，其中 c 取决于 \(c_1\)

王守恩

1，前 6 项。
\( 1,\ \sqrt{2}, \sqrt{2 + \sqrt{2}}, \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{2}}},\)
\(\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}},\)
\(\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}+\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}},\)
2，前 30 项。
N[FoldList[Sqrt[#^2 + #] &, 1, Range@30], 10]
1.000000000, 1.414213562, 1.847759065, 2.293899001, 2.748794577,
3.210088193, 3.676241885, 4.146202634, 4.619220596, 5.094744303,
5.572357115, 6.051737018, 6.532630248, 7.014833441, 7.498181222,
7.982537370, 8.467788391, 8.953838765, 9.440607363, 9.928024715,
10.41603089, 10.90457383, 11.39360804, 11.88309355, 12.37299502,
12.86328110, 13.35392384, 13.84489818, 14.33618164, 14.82775389,

uk702

再尝试了一下，似乎有：\(a_n = n/2+0.675-log(n)/4 \)

1. for i=2:10000000                                       
   
2.      a = sqrt(a^2+a)                                    
   
3.      if i % 1000000 == 0                                 
   
4.          println(i, "\t\t\t", a - i/2 - 0.675 + log(i)/4)   
   
5.      end                                                
   
6. end                                                   
   

复制代码

输出：
1000000                 0.00017884576223270443
2000000                 0.00017820197500073576
3000000                 0.00017795290405153708
4000000                 0.00017789823692382356
5000000                 0.00017745394994550523
6000000                 0.00017570700916058613
7000000                 0.00017617596000940594
8000000                 0.00017689426068612235
9000000                 0.00017560613491518495
10000000        0.0001799331201368659

xfhaoym

弄错了!删了.