3X+1猜想的证明预备知识一：幂列余理论

3X十1何恋立

    上个世纪50年代开始,在国际数学界广泛流行着这样一个看似很初等的问题:
    任意给定一个正整数x,如果是偶数,则变换成x/2,如果是奇数,则变换成3x+1，且对所得正整数仍按前述规则进行变换。若这样的操作一直重复下去，是否经过有限次操作总能得到1？
    这个问题即“3X+1问题”，又称为“3X+1猜想”。由于研究者、传播者众多，它获得了很多不同的名称：西拉古斯(Syracuse)猜想，克拉茨(Collatz)猜想，角谷静夫猜想，哈斯(Hasse)算法问题，乌拉姆(Ulam)问题等等。由于，对某整数进行迭代时，迭代结果大小变化几无规律，常出现缓升骤降情形，故该猜想又有“冰雹猜想”之名。著名华裔数学家陶哲轩把偏微分方程的研究思路应用于3X+1猜想的研究获得意外的惊喜，2019年9月8日在个人博客上贴出了一份证明：至少对绝大部分自然数而言此猜想都是正确的。但其运用的统计学方法注定了沿此方向永远达不到真正的证明。经过至少七十年的探索与研究,人们似乎接受了大数学家厄尔特希(P.Erdos,1913--1996)的说法:“数学还没有成熟到足以解决这样的问题!”。
    笔者从高中时代接触这一猜想至今已30余年，一直不能舍弃对它的思索，如今终有一个自己满意的结果。笔者曾作过多种思路尝试，近几年最终锁定如下的证明思路：
    首先，原猜想可化归为等价命题：对任给的奇数依次进行乘3、加1、约去因子2的操作，且对所得奇数也进行相同的操作，如次重复操作有限次，总能得到结果1。
    其次，由于猜想中的变换操作具有次数无限的特点，故反复迭代的运算结果要么落入循环，要么趋于发散。因此，若能证得：
  （1）对任意奇数进行3X+1迭代时，1 的自循环是唯一可能的循环；
  （2）对任意奇数进行3X+1迭代时，不可能趋于发散。
则猜想得证。
    笔者发现，要证明命题（1）并不难，因为迭代循环可以转化为线性方程组，从而循环的唯一性证明就转化成线性方程组解的唯一性证明。其实，早有人用数学归纳法证明了命题（1），但错误地当成了对猜想的完全证明。而要证明命题（2）则难得多，从笔者给出的证明过程可以看出，厄尔特希所说的“数学还没有成熟......”恰如其分。因为为了证明命题（2），已有的数学尚欠两个必需的理论：幂列余理论和辐射链理论。不仅如此，还需有一个支撑辐射链理论的关于无穷的新理论：数的度量理论。利用幂列余理论、辐射链理论及展布丰度的相关定理即可证明命题（2）。完成命题（1）和（2）的证明，则最终完成对3X+1猜想的证明。笔者还将进一步讨论了比3X+1问题更一般的PX+1问题,其中P为质数。

    笔者因证明3X+1猜想之需而提出的幂列余概念及相关理论当是对古典数论的一个补充，它能帮助我们更深入透彻地理解古典数论中极重要的欧拉定理（实际上，欧拉定理只是幂列余理论中定理2的一种特殊情形）。此外，幂列余理论中定理5还能为我们提供超大整数的分解方案。仅此两点即足见幂列余理论确实是一个有益的补充。理论中的定理5和及组成该理论的其它一些定理并不是证明3X+1猜想所必需的，而是理论本身的完整性所必需的。
    笔者上一帖已经附上命题（1）的证明，本帖则附上按本思路证明3X+1猜想所需的预备知识之一：幂列余理论及应用举例。后面还会把整个证明的其它各部分逐一贴出，敬请方家指正！
（说明：本帖文及所附论文与前发帖文及论文内容有部分重复，只是为了独立成篇以给读者提供方便。）

雷雷儿

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雷雷儿

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