试证 (0,+∞) 上的广义定积分 ∫(0,+∞)e^(-x)lnx dx=-γ

elim

题：试证\(\,\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-x}\ln x\,\text{d}x=-\gamma\)

提示：令\(\,\Psi(x)=\large\frac{\Gamma\ '(x)}{\Gamma(x)},\) 则
\(\begin{align}
{\int_{0}^{\infty}e^{-x}\ln x \,d x}&=
\lim_{\mu \to 0^+}\frac{d}{d\mu}\int_{0}^{\infty}x^{\mu} e^{-x}\,d x=\lim_{\mu \to 0^+}\frac{d}{d\mu}{\Gamma(\mu + 1)}\\
&=\lim_{\mu \to 0^+}\Gamma(\mu + 1)\Psi(\mu + 1)=\Gamma(1)\Psi(1)=-
\color{red}{\large \gamma}\end{align}\)

elim

第一个等号需要证明，\(\Psi(1)=-\gamma\,\)需要证明.

永远

是[0,+∞) ，不是(0,+∞) ，老师这个区间都能写错，笔误？？？

永远

什么叫念经作风？区别可大了，好吧，老师你率性不拘一格还好老师你不是搞飞行器设计，不然会被你害惨了。我上小学的时候听说前苏联航天部门轨道飞船因少输入一个小数点，导致后期飞船后期失控……算了，不在和老师你纠结了。

elim

不求甚解，念经有口无心，逐成混混．可惜了．

永远

elim 发表于 2021-1-17 16:26
不求甚解，念经有口无心，逐成混混．可惜了．

不管e老师怎么骂，只要陆老师一天不回贴，我是不会承认的。

elim

你的承认谁承认？

elim

永远弄不懂 \(\int_{[a,b)}=\int_{(a,b)}\) 有点恐怖．

永远

elim 发表于 2021-1-19 01:13
永远弄不懂 \(\int_{[a,b)}=\int_{(a,b)}\) 有点恐怖．

还有这种操作，第一次听说，课本上有吗

elim

永远 发表于 2021-1-18 17:04
还有这种操作，第一次听说，课本上有吗

其实所有的瑕积分都是这种东西。