正方形 ABCD 边长 5 ，E 在 BC 上，BE=1，F 在 AB 上，EFG 为正三角形，求 AG 最小值

ccmmjj

这道题目是教初三的把关老师推荐给我晚上动脑用的。题目其实很简单：

正方形ABCD边（边长5）上有定点E（BE=1），动点F。G在形内，EFG成正三角形。求AG的最小值。

波斯猫猫

思路之一：设∠BFE=θ，则由条件有FG=FE=1/sinθ，且FB=cotθ，即AF=5-cotθ。
所以，由余弦定理有AG＾2=（5-cotθ）＾2+（1/sinθ）＾2-2（5-cotθ）cos（120°-θ）/sinθ
              =（cotθ）＾2-（5-√3）cotθ+26-5√3（以下配方可解决问题。题目其实很简单！？）.

王广喜

可以试试下面的方法：

ccmmjj

王广喜 发表于 2021-1-12 09:38
可以试试下面的方法：

很精妙的方法！，答案是正确的。可惜要用到高中数学知识，这是一道初中数学填空的压轴题。不过就这解法的美感来说，已经可以说明2楼波斯猫的质疑是不对的，这确实是一个简单的题目。

luyuanhong

楼上 王广喜 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫

对比：
1，设角θ（设角α）；
2，用锐角三角函数的定义两次（用锐角三角函数的定义两次）；
3，用余弦定理一次（用勾股定理一次）；
4，用平方关系一次（用平方关系一次）；
5，用cos（120°-θ）一次（用sin（60°-α）一次）；[化成cotθ的二次函数的运算量较大，但只需按部就班即可]
6，用配方法两次（未用）；
7，开平方一次（未用）；
8，...................（作辅助正三角形一个）；[一个是不易想到，即使想到了，后续的作垂线、证明等应用又是个难点]
9，.....................（要作一条垂线，并要解释其作用）；
10，..................（要证明一对三角形全等）；
11，高中知识点三个（高中知识点两个）。

ccmmjj

波斯猫猫 发表于 2021-1-12 12:27
对比：
1，设角θ（设角α）；
2，用锐角三角函数的定义两次（用锐角三角函数的定义两次）；

其实只要初中数学知识两三步就好，有空我写出来。

no89104

初中一种解法

ccmmjj

这大概是硬算派的方法。

ccmmjj

我的解答在这里，只要用到旋转的概念和含30度角的直角三角形的边边关系。只要三步。