计算极限 lim(n→∞)n[(a+1／n)^(1／n)-n／(n+b)]

elim

题：计算 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{2 + 1/n} - 1)\)

nd223

ln2，先将有根号的部分用以e为底的指数形式表示，再用一次无穷小的等价替换。

xuke

指对互化，等价无穷小替换

xuke

\begin{align}
\lim_{n\rightarrow \infty} n\left( \sqrt[n]{2+\frac{1}{n}}-1 \right) &=\lim_{n\rightarrow \infty} n\left( e^{\frac{1}{n}\ln \left( 2+\frac{1}{n} \right)}-1 \right)
\\
&=\lim_{n\rightarrow \infty} n\cdot \frac{1}{n}\ln \left( 2+\frac{1}{n} \right)
\\
&=\ln 2
\end{align}

elim

好身手．谢谢二位！

王守恩

xuke 发表于 2021-1-17 14:08
\begin{align}
\lim_{n\rightarrow \infty} n\left( \sqrt[n]{2+\frac{1}{n}}-1 \right) &=\lim_{n\righta ...

谢谢高手！看懂一些。下面的还是不懂。谢谢高手！
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\bigg(\sqrt[n]{2+\frac{1}{n}}-\frac{n}{n}\bigg)=\ln2+0\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\bigg(\sqrt[n]{2+\frac{1}{n}}-\frac{n}{n+1}\bigg)=\ln2+1\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\bigg(\sqrt[n]{2+\frac{1}{n}}-\frac{n}{n-1}\bigg)=\ln2-1\)

xuke

王守恩 发表于 2021-1-18 10:10
谢谢高手！看懂一些。下面的还是不懂。谢谢高手！
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\bigg(\sqrt[n]{ ...

举其中一个进行说明

\begin{align}
\lim_{n\rightarrow \infty} n\left( \sqrt[n]{2+\frac{1}{n}}-\frac{n}{n+1} \right) &=\lim_{n\rightarrow \infty} n\left( \sqrt[n]{2+\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n+1} \right)
\\
&=\lim_{n\rightarrow \infty} n\left( \sqrt[n]{2+\frac{1}{n}}-1 \right) +\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}
\\
&=\ln 2+1
\end{align}

elim

令\(\,y_n=\frac{1}{n}\ln(2+\frac{1}{n})\)
\(n(\sqrt{{\small 2+}\frac{1}{n}}-1)=n(e^{\frac{1}{n}\ln(2+\frac{1}{n})}-1)=n(1+y_n+O(y_n^2)-1)\to\ln 2\small\;(n\to\infty)\)

\(n(\sqrt{{\small 2+}\frac{1}{n}}-\frac{n}{n+1})=n(\sqrt{{\small 2+}\frac{1}{n}}-1)+\frac{n}{n+1}\to\ln 2+1\;\small(n\to\infty).\)

我一般不好意思把过程写得太详细，怕生轻看网友之嫌．另外，事无巨细也不益于突出重点．但众口难调．

王守恩

xuke 发表于 2021-1-18 12:11
举其中一个进行说明

\begin{align}

谢谢高手！！！同理可得。
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\bigg(\sqrt[n]{a+\frac{1}{n}}-\frac{b+n}{n}\bigg)=\ln a-b\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\bigg(\sqrt[n]{a-\frac{1}{n}}-\frac{n}{b+n}\bigg)=\ln a+b\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\bigg(\sqrt[n]{a+\frac{1}{n}}+\frac{b-n}{n}\bigg)=\ln a+b\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\bigg(\sqrt[n]{a-\frac{1}{n}}+\frac{n}{b-n}\bigg)=\ln a-b\)

luyuanhong