证明：x^3+y^3+z^3+w^3 = 2021 有无穷多个整数解 (x, y, z, w)。

uk702

证明：\(x^3+y^3+z^3+w^3\) = 2021 有无穷多个整数解 (x, y, z, w)。

uk702

经检验 (x,y,z,w) = (29, 41, 47, -58) 是其中的一个解，现设 x=29+k; y=41-k;z=47+m; w=-58-m 代入 \(x^3+y^3+z^3+w^3=2021\)，得 \(210(k^2-12k)-33(m^2+105m)=0\)，整理，有 \(11(2m+105)^2-280(k-6)^2=111195\)。

我们知道，不定方程 \(ax^2-by^2=N \)，当 a 和 b不都是完全平方数且 N ≠ 0 时，若有一个解，则有无穷多个解，故由此得到 \(x^3+y^3+z^3+w^3=2021\) 的无穷多个解。

王守恩

不好意思！骚扰一下，麻烦看看我的帖子：
数学研发论坛，开心茶馆，《[提问] a^3+nab+b^3=c^3》
看来 x^3+y^3+z^3+w^3 =n 的通项是没有的。

uk702

原帖子上结果就很好啊，链接的网页信息量也超大：
mathoverflow.net/questions/138886/which-integers-can-be-expressed-as-a-sum-of-three-cubes-in-infinitely-many-ways

x^3+y^3+z^3+w^3 =n 不仅没有通项，是否对所有的 n 都有解还未知。

王守恩

uk702 发表于 2021-1-21 08:53
原帖子上结果就很好啊，链接的网页信息量也超大：
mathoverflow.net/questions/138886/which-integers-can ...

谢谢uk702！ 活跃一下帖子。
  不光是  “1” ，挺多的。
1= 144^3  - 138^3  -  71^3      
1= 172^3  - 138^3 - 135^3      
1= 505^3  - 426^3 - 372^3      
1= 577^3  - 486^3 - 426^3        
1= 904^3  - 823^3 - 566^3      
1= 729^3  - 720^3 - 242^3      
1=1010^3 - 812^3 - 791^3      
1=1210^3-1207^3 - 236^3      
1=2304^3-2292^3 - 575^3      
1=3097^3-2820^3-1938^3      
1=3753^3-3230^3-2676^3      
1=5625^3-5610^3-1124^3      
1=6081^3-5984^3-2196^3      
1=6756^3-6702^3-1943^3      
1=8703^3-8675^3-1851^3

王守恩

uk702 发表于 2021-1-20 17:44
经检验 (x,y,z,w) = (29, 41, 47, -58) 是其中的一个解，现设 x=29+k; y=41-k;z=47+m; w=-58-m 代入 \(x^3+ ...

\(n^3\equiv(3n^3-3n^2+2n-1)^3-(3n^3-3n^2+2n)^3+(3n^2-2n+1)^3\)

\(n 是1, 2, 3, 4,...，n 可以是有理数，n 还可以是无理数。\)

王守恩

uk702 发表于 2021-1-21 08:53
原帖子上结果就很好啊，链接的网页信息量也超大：
mathoverflow.net/questions/138886/which-integers-can ...

不好意思！麻烦再看看：
数学研发论坛，小题大作，《[讨论] 四次方数还有更短的吗？》
\((n-5)^4\equiv(n+5)^4-(2n+4)^4+(2n-4)^4-(3n-1)^4+(3n+1)^4\)