证明存在长度为2021的连续正整数序列, 其中每一个都不能表成两个完全平方数的和。

uk702

证明存在整数序列 {n, n+1, ...，n+2020}，其中每个数，都无法表成两个完全平方数的和。

uk702

我们知道，若 n 可表示成两个完全平方数的和，则将 n 表成素因子分解为 \(n=p_1^{k1} p_2^{k2}...p_t^{kt}\)，各 \(p_i\) 若为奇数，要么 \(p_i\)  是 4k+1 型的素数，要么 ki 是 2 倍数。现取 2021 个 4k-1 型的素数 \(q_1，q_2，q_3，...，q_{2021}\)，根据孙子定理（中国剩余定理），以下 2021 个同余方程组有正整数解 x=n：
\[
x≡q_1\ (mod\  q_1^2)     \\
x≡q_2-1\ (mod\ q_2^2 )  \\
x≡q_3-2\ (mod\ q_3^2 )  \\
…  \\
x≡q_{2021}-2020\ (mod\ q_{2021}^2 )  \\
\]
由此知，
\[
q_1\ |\ n\ 但\ q_1^2\ 不整除\ n \\
q_2\  |\ (n+1)\  但\  q_2^2\  不整除\ (n+1)  \\
q_3\ |\ (n+2)\  但\  q_3^2\ 不整除\ (n+2) \\
… \\
q_{2021}\ |\ (n+2020)  但\  q_{2021}^2\  不整除\  (n+2020)  \\
\]

由于各 \(q_i\) 均为 4k-1 型素数，于是，n, n+1, n+2, …, n+2020 均不可表示成两个完全平方数的和。

王守恩

uk702 发表于 2021-1-20 20:56
我们知道，若 n 可表示成两个完全平方数的和，则将 n 表成素因子分解为 \(n=p_1^{k1} p_2^{k2}...p_t^{kt}\ ...

设数列{An}是不能写成3个平方数之和的正整数数列：
007, 015, 023, 028, 031, 039, 047, 055, 060, 063, 071, 079, 087, 092, 095, 103, 111, 112, 119, 124, 127,
135, 143, 151, 156, 159, 167, 175, 183, 188, 191, 199, 207, 215, 220, 223, 231, 239, 240, 247, 252, 255,
263, 271, 279, 284, 287, 295, 303, 311, 316, 319, 327, 335, 343, 348, 351, 359, 367, 368, 375, 380, 383,
391, 399, 407, 412, 415, 423, 431, 439, 444, 447, 448, 455, 463, 471, 476, 479, 487, 495, 496, ............

我找了个粗糙的节点通项，渴望能引出细腻的通项公式。谢谢大家！

\(a(\frac{7×4^n-4}{6})=7×4^n\)

，譬如：

a(4)=28
a(18)=112
a(74)=448
a(298)=1792
a(1194)=7168
a(4778)=28672
a(19114)=114688
a(76458)=458752
a(305834)=1835008

uk702

n 不能表示成 3 个完全平方数的和的充要条件是 n 为 \(4^a(8b-1)\) 的形式。因此，前 8i-1 个数中，这当中包含了 i/4 个 4*(8b-1) 形式的，i/16 个 16*(8b-1) 形式的, i/64 个 64*(8b-1) 形式的，...

由于 i/4+i/16+i/63+... = i/3，因此，第 i 个不能表示成  3 个完全平方数的和的数大概是 8*「ɑ*i」- 1，其中 「」表示向上取整，ɑ ≈ 2/3？，至于 ɑ 究竟取多大最为贴切，就需要你细调了。