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\({\small\displaystyle\int_{0}^\infty(\frac{x^2}{1+x^4}-\frac{1}{1+x^4})}dx.\)

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发表于 2021-1-22 09:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
题:试证 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^4}dx\)
 楼主| 发表于 2021-1-22 09:47 | 显示全部楼层
看着有点奇怪,但确实相等.......
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发表于 2021-1-22 10:30 | 显示全部楼层
把积分区间分成(0,1)和(1,无穷)两部分,再作x=1/u的变换。

点评

coolboy发言不多;其发言给人万岁金口之感。  发表于 2021-2-4 08:36
没错!  发表于 2021-1-22 11:21
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 楼主| 发表于 2021-1-22 23:47 | 显示全部楼层
总体来说\(\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx\overset{u=1/x}{=\hspace{-3px}=}\int_0^{\infty}\frac{1}{1+u^4}du= \int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^4}dx \)
详细说来\(\,\displaystyle\int_E\frac{x^2}{1+x^4}dx=\int_{E’}\frac{1}{1+x^4}dx,\;\small E\in\{[0,1),[1,\infty)\},\;E’=[0,\infty)-E.\)
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