(x+1)(y+1)(z+1)=20,(x+2)(y+2)(z+2)=21,(x+3)(y+3)(z+3)=2021,求 (x+10)(y+10)(z+10)

uk702

已知：(x+1)(y+1)(z+1)=20，(x+2)(y+2)(z+2)=21, (x+3)(y+3)(z+3)=2021，求 (x+10)(y+10)(z+10)。

uk702

令 \(σ_1\) = x+y+z，\(σ_2\) = xy+yz+zx， \(σ_3\) =xyz，则有
\(σ_3\) + \(\  σ_2\) + \(\ σ_1\) = 19          (= 20-1^3)
\(σ_3\) + \(2σ_2\) + \(4σ_1\) = 13        (= 21-2^3)
\(σ_3\) + \(3σ_2\) + \(9σ_1\) = 1994    (=2021-3^3)

解得  \(σ_1\)=\(\frac{1987}{2}\)，  \(σ_1\)=-\(\frac{5973}{2}\)，  \(σ_3\)=2012
于是 （x+10)(y+10)(z+10) =  \(σ_3\) + \(10σ_2\) + \(100σ_1\) +1000 = 72497

王守恩

uk702 发表于 2021-1-23 11:22
令 \(σ_1\) = x+y+z，\(σ_2\) = xy+yz+zx， \(σ_3\) =xyz，则有
\(σ_3\) + \(\  σ_2\) + \(\ σ_1\) ...

(x+1)(y+1)(z+1)=20
(x+2)(y+2)(z+2)=21
(x+3)(y+3)(z+3)=2021
求 (x+n)(y+n)(z+)=a(n)
\(a(n)=n^3+1993n(n-1)/2+20\)

王守恩

uk702 发表于 2021-1-23 11:22
令 \(σ_1\) = x+y+z，\(σ_2\) = xy+yz+zx， \(σ_3\) =xyz，则有
\(σ_3\) + \(\  σ_2\) + \(\ σ_1\) ...

(x+1)(y+1)(z+1)=a
(x+2)(y+2)(z+2)=b
(x+3)(y+3)(z+3)=c
(x+n)(y+n)(z+)=a(n)
\(求\ a(n)通项公式。\)

luyuanhong

楼上 各位 的解答很好！已收藏。

王守恩

王守恩 发表于 2021-1-23 20:23
(x+1)(y+1)(z+1)=a
(x+2)(y+2)(z+2)=b
(x+3)(y+3)(z+3)=c

谢谢uk702！！ 特别地，当b=a+1时，
\(a(n)=n^3+(c-a-8)n(n-1)/2+a\)

贪心的问(我也找不出来)，要不丢了(不可惜)。
(x+a1)(y+a1)(z+a1)=a
(x+a2)(y+a2)(z+a2)=b
(x+a3)(y+a3)(z+a3)=c
(x+n)(y+n)(z+n)=a(n)
\(求\ a(n)通项公式。\)

王守恩

uk702 发表于 2021-1-23 11:22
令 \(σ_1\) = x+y+z，\(σ_2\) = xy+yz+zx， \(σ_3\) =xyz，则有
\(σ_3\) + \(\  σ_2\) + \(\ σ_1\) ...

还是“爬楼梯”方便些。

LinearRecurrence[{4, -6, 4, -1}, {20, 21, 2021, 6026}, 17]
{20, 21, 2021, 6026, 12042, 20075, 30131, 42216, 56336, 72497,
90705, 110966, 133286, 157671, 184127, 212660, 243276, ........}

参考《已知\( x+y+z=1 ，x^2+y^2+z^2=2 ，x^3+y^3+z^3=3 ，求 x^5+y^5+z^5\)》