(组合数学)求幂级数 \(f(x)= ∑\limits_1^\infty a_n x^n\)使\(f(f(x))=x^2+x\)

elim

请教组合论专家 fungarwai 先生：

求 \(f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n\) 使\(f(f(x))=x^2+x\).

uk702

很期待，那怕是 \(a_0\) 我都没辙 ...

doletotodole

F(Fx)以前练过, 印象就是很恐怖,很难, 配上幂级数, 我的天.

elim

doletotodole 发表于 2021-1-28 03:51
F(Fx)以前练过, 印象就是很恐怖,很难, 配上幂级数, 我的天.

\(x+x^2\) 在 \(x=0\) 附近主部是 \(x\). 故设 \(f(0)=0,\,f'(0) = 1\) 是合理的。
\(\therefore\;\,f^{(n)}(f(0))=f^{(n)}(0),\; \partial_x f(f)=F_1f_1,\;\partial_x^2f(f)=F_2f_1^2+F_1f_2,\)
\(\quad\;\partial_x^3f(f)=F_3f_1^3+3F_2f_1f_2+F_1f_3,\small\,(F_k=f^{(k)}(f(x)),\;f_k^m=(f^{(k)}(x))^m)\)
\(n\)阶导数 \(\partial_x^n=F_nf_1^n+F_1f_n+\displaystyle\sum_{\alpha\cdot\beta=n \atop \sum\beta_k=j< n} \lambda_{\alpha,\beta}F_j\prod f_{\alpha_k}^{\beta_k}\) 由复合函数
导数公式(Chain Rule) 得到.  有了初值\(f'(0)=1\) 及 \(F_k\big|_{x=0}=f^{(k)}(0),\)
\(\{f^{(n)}(0)\}\) 可顺次求出。所以原则上 OK, 具体计算 ----- 我的天.

有意思的是这种纯粹练傻的计算可以通过编程解决！！！！这使问题变得非常有趣：
编程有趣，结果验证也会很刺激。

python 程序已经基本完成。大家保重身体，到时候围观。