定义$0.a_1a_2a_3\ldots\displaystyle:=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_k}{10^k}$合理

elim

定义 $0.a_1a_2a_3\ldots\displaystyle:=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{10^n}:=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{10^k}$ 是合理的.

常听人想当然说这个无尽小数定义偷换了概念：部分和的极限与级数和
不是一个概念。从字面上至少可以说它们是不同的。但是真的要说它们
不同。需要确切的理由。说 $1+3=2\times 2$ 偷换了概念，傻不傻么!
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{10^n}$ 是个什么概念？无穷个数的和？ 什么是无穷个数的和？
数学毕竟不是卖膏药，要定义一个式子，就要把它表示成有限个已被定义
的式子和作用于其上的已被定义的运算。所以级数和这个概念一定建筑在
非无穷个数的和的基础上，而后者要真正释义前者，必须借助极限这个运
算这里没有什么概念的偷换，没有部分和的极限这个定义，级数和就是一
个未被释义的形式。没有意义。同理，$0.\dot{9}$ 没有不通过极限运算也没有办
法被释义. 小数点后跟无穷多个9是什么意思？是把戏还是一个数？它是哪些
数通过啥运算得到的结果？ $0.\dot{9}$ 只能定义为$\displaystyle\lim_{n\to\infty}0.\underset{n\text{个}9}{\underbrace{99\ldots 9}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{10^n}$

elim

中国的数学基础教育一直以来较弱，以至于这个主题的贴出成为必要．

春风晚霞

是的。菲赫金哥尔茨在其《数学分析原理》第二卷 第一分册P1写道：“级数$a_1+a_2+a_3+…+a_n+……$的部分和$A_n$在n$\to ∞$时的有限或无限极限A=$A_n$叫做该数之和而写成A=$a_1+a_2+a_3+…+a_n$+…=$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ {a_n}$”，所以$0.\dot 9$=$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ {9\over 10^n}$=$\lim\limits_{n\to\infty}$($9\over 10^1$+$9\over 10^2$+…$9\over 10^n$)=1并非什么“冒充”，而是很有用的技术处理过程。

APB先生

挂羊头卖狗肉

jzkyllcjl

无穷是无有穷尽的意思。无穷级数和是其前n想和的无穷数列的趋向性极限值。趋向不是到达。所以无尽循环小数0.999……趋向于1，但永远不等于1. 柏拉图与康托尔的“无穷集合是完成了的整体”的实无穷观点，早被亚里士多德被抛弃。
所以自然数集合与自然数平方的集合都是不可构成的想象性集合，它两元素个数都是非正常实数 ∞，应当根据不定式∞/∞的计算法则比较两个集合的元素多少；这时就消除了“部分等于整体”的谬论。

elim

无穷对吃狗屎的 jzkyllcjl 没有实践性，不是他吃点狗屎就有能力研究的。难怪 jzkyllcjl 必须被抛弃，果然被抛弃。

jzkyllcjl

elim 发表于 2021-2-3 01:13
无穷对吃狗屎的 jzkyllcjl 没有实践性，不是他吃点狗屎就有能力研究的。难怪 jzkyllcjl 必须被抛弃，果然被 ...

无穷是无有穷尽的意思; 无穷数列既有无限延续的发法则，又有永远延续不到底的性质。两个性质缺一不可，只看一面忽略另一面的做法行不通。任何无穷级数和是其前n想和的无穷数列的趋向性极限值。趋向不是到达。所以无尽循环小数0.999……趋向于1，但永远不等于1. 柏拉图与康托尔的“无穷集合是完成了的整体”的实无穷观点，早被亚里士多德被抛弃。
所以自然数集合与自然数平方的集合都是不可构成的想象性集合，它两元素个数都是非正常实数 ∞，应当根据不定式∞/∞的计算法则比较两个集合的元素多少；这时就消除了“部分等于整体”的谬论。

elim

楼上的说词推翻不了主贴结果．

jzkyllcjl

elim 发表于 2021-2-3 14:24
楼上的说词推翻不了主贴结果．

elim 与春风晚霞 网友都是形式主义者。格斯在《反杜林论》《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节中，48页讲到：“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”；这说明：必须把无穷集合看作有穷集合序列的不可达到的广义极限性想象性事物。在《自然辩证法》228页恩格斯讲道：“数学家的方法常常奇怪的得到”正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了。为此，笔者称现实数量大小的绝对准表达符号（例如：0，1，2，3，……1/3,1/10,……，π,√2，……等）都是理想实数（简称为实数）。每一个无尽小数都是以理想实数的满足误差界（十的负n次幂分之一）的有尽位十进小数为项的不足近似值无穷数列的简写。无尽小数具有永远算不到底的事实，无尽小数本身不是实数，但无尽小数与理想实数之间，具有理论与实践、理想与现实、绝对准与近似之间的对立统一关系。笔者在文献[1]中已经改革了数学理论，但还需要进一步使用，理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的关系阐述数学理论”.  这就是毛泽东说的“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”。无穷是无有穷尽的意思; 无穷数列既有无限延续的发法则，又有永远延续不到底的性质。两个性质缺一不可，只看一面忽略另一面的做法行不通。任何无穷级数和是其前n想和的无穷数列的趋向性极限值。趋向不是到达。所以无尽循环小数0.999……趋向于1，但永远不等于1. 柏拉图与康托尔的“无穷集合是完成了的整体”的实无穷观点，早被亚里士多德被抛弃。
所以自然数集合与自然数平方的集合都是不可构成的想象性集合，它两元素个数都是非正常实数 ∞，应当根据不定式∞/∞的计算法则比较两个集合的元素多少；这时就消除了“部分等于整体”的谬论。

elim

吃狗屎的 jzkyllcjl 懂什么？ 只配被抛弃，果然被人类数学抛弃。