当 x≠1 时，f(x)=｜lg｜x-1｜｜，求方程 [f(x)]^2+bf(x)+c=0 有七个实数解的充要条件

xfhaoym

波斯猫猫

思路：（1）所给函数相当于定义域为R的分段函数f（x）=0（x=0）,且f（x）=｜lg｜x｜｜（x≠0）（偶函数），即把所给函数向左平移了1个单位，这并不影响后面根的个数的讨论。
（2）必要性：若方程[f（x）]＾2+bf（x）+c=0有7个不同实根，即方程[｜lg｜x｜｜]＾2+b｜lg｜x｜｜+c=0有7个不同实根。根据函数的定义，x=0为其根，故c=0。从而方程变为
｜lg｜x｜｜.（｜lg｜x｜｜+b）=0，根据对称性，当x＞0时，前述方程变为｜lgx｜.（｜lgx｜+b）=0，且必有3个不同实根，故b＜0。
（3）充分性：若c=0且b＜0，则方程[f（x）]＾2+bf（x）+c=0变为｜lg｜x｜｜.（｜lg｜x｜｜+b）=0，且当x＞0时有3个不同实根，由对称性可知，当x＜0时方程也有3个不同实根。根据函数的定义，显然x=0必为其根。
故方程[f（x）]＾2+bf（x）+c=0有7个不同实根的充要条件是c=0且b＜0。

xfhaoym

谢谢波斯猫猫，看来这问题有点复杂．要是画图可能好理解一些．

波斯猫猫

画图就要画出函数 F（x）=[f（x）]＾2+bf（x）+c 的图象。