极限论的标准分析数学基础

elim · 发表于 2021-2-2 06:32

本帖最后由 elim 于 2021-2-1 18:32 编辑

首先, 没有无穷公理，就没有实无穷意义上的自然数集，更没有作为自然数
到实数的映射概念。也就没有序列概念。如果没有序列，极限就无从谈起。
所以康托集合论，无穷公理，皮亚诺自然数公理是必要的。从自然数模扩
充成整数环，从整数环扩充到有理数域，没有遇到太大的逻辑跳跃。但是
有理数域对极限运算是不完备的：令

$a_1=1,\;a_{n+1}=\large\frac{2a_n+2}{a_n+2}$ 则

$2-a_{n+1}^2={\large\frac{2(2-a_n^2)}{(a_n+2)^2}}=\large\frac{2(a_{n+1}-a_n)}{a_n+2}$
所以

$\{a_n\}$ 是各项平方小于二的严格递增有理数序列。设其收敛到某数

$A$ .
对递归关系两边取极限得

${\small A=}\large\frac{2A+2}{A+2},\;\small A^2=2.$ 所以存在每一项都是实锤
(不带'忽悠省略号'的)有理数的序列，其极限不是有理数。
于是康托，戴德金等人构造了称为实数域的有理数扩域。并证明了实数域
关于极限运算完备。每个实数基本列都收敛于一个实数. 我有过一个帖子
介绍过康托的构造。不过要看懂还是要有点定力的。需要知道的还是一样，
这不是卖膏药，这里没有忽悠，每一步都可以追溯到 ZFC 公理。实数系被
证明是含有理数域的具有最小上界性的阿基米德有序域。现在来澄清何谓
极限. 对

$\small\varnothing\ne E\subset\mathbb{R}$ 若有

$u\in\mathbb{R}\,$ 使

$\,x\le u\,\small(\forall x\in E),\,$ 则称

$E$ 上有界,

$u$ 是

$E$ 的一个上界. 实数系具有最小上界性是指上有界的集合

$E$ 必有最
小上界

$\sup E\in\mathbb{R}$ , 称为

$E$ 的上确界. 对称地定义下有界，下确界概念.
易见下确界

$\inf E = -\sup (-E)\;\,(-E:=\{-x\mid x\in E\})$ .
用

$\sup E = \infty$ 表示

$E$ 上无界，

$\inf E = -\infty$ 表示

$E$ 下无界。
任给实数列

$\{a_n\}$ , 令

$\,E_n=\{a_k\mid k\ge n\}$ 则

$\inf\{\sup E_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ ,
是一个递减序列的值构成的集合的最大下界.

$\sup\{\inf E_n\mid n\in\mathbb{N}\}$
是一个递增数列的最小上界。依次叫作

$\{a_n\}$ 的上极限和下极限。确切地说

$\displaystyle\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}a_n=\inf_{n\ge 1}\sup_{k\ge n} E_k,\;\underset{n\to\infty}{\underline\lim}a_n=\sum_{n\ge 1}\inf_{k\ge n} E_k$
上下极限常另记为

$\displaystyle\underset{n\to\infty}{\lim\,\sup}\,a_n=\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}a_n,\;\;\underset{n\to\infty}{\lim\,\inf}\,a_n=\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}a_n.$
若

$\,\displaystyle\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}} a_n=\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}a_n=A,\;$ 则称

$\{a_n\}$ 收敛, 其极限

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A.$
例：

$a_n={\large\frac{1}{n}},\;\;E_k=\{\frac{1}{k},\frac{1}{k+1},\ldots\}.$

$\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}{\large\frac{1}{n}}=\underset{n\ge 1}{\inf}\underset{k\ge n}{\sup}E_k =\underset{n\ge 1}{\inf}\{\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\ldots\}=0$

$\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}a_n=\underset{n\ge 1}{\sup}\underset{k\ge n}{\inf}E_k = \underset{n\ge 1}{\sup}\{0\}=0.\;\;\therefore\;\;\underset{n\to\infty}{\lim}{\large\frac{1}{n}}=0$
由此可见，基于实数系性质，取极限是一种有限操作。不是算不到底写不完，
构造不尽，不可言传只可意会的精灵。
我们当下所熟悉的极限理论和技巧，是基于以上理论, 技术上优化的结果.

jzkyllcjl · 发表于 2021-2-2 09:41

第一，∞是个符号，在华东师大《数学分析》上册（1980年出版）80页，说道：它是非正常实数，非正常极限。所以只能写 n→∞，但不能写n=∞.。
第二，包括所有自然数的集合是一个想象性的无穷集合。这个无穷集合不是完成了的整体的实无穷集合。定理1数学理论中的基本定理（自然数的两个重要性质）： ①在不受时间的限制的理想条件下，任意大确定的自然数都是能够被人们写出的有限自然数；②全体（或称所有）自然数是人们永远无法写完其所有元素的想象性质的理想集合。
这两个性质都是事实，只强调一面忽略另一面的观点是片面的，行不通的做法。

elim · 发表于 2021-2-2 11:31

jzkyllcjl 的理想性，现实性其实都是吃屎性，从来说不清楚。jzkyllcjl 没有资格谈极限。他根本建立不了无穷序列的概念。

jzkyllcjl · 发表于 2021-2-2 16:25

elim 发表于 2021-2-2 03:31
jzkyllcjl 的理想性，现实性其实都是吃屎性，从来说不清楚。jzkyllcjl 没有资格谈极限。他根本建立不了无 ...

第一，由于A（n）的分子都是有界负数，所以A（n）的极限不是你算出的2/3。
第二，由于Peano, Cantor 和无穷公理使用了：“无穷集合是完成了的整体”的违背事实的实无穷换点，所以现行数学理论需要改写，但不是全部推翻。．．

elim · 发表于 2021-2-2 20:42

用楼上的猿声取代论证和计算，是jzkyllcjl 继续吃狗屎的表现．
实无穷跟完成没有关系，实数域的既存性和它还有大量有待构建的元素哪个是事实，吃狗屎的jzkyllcjl 说倒了．

jzkyllcjl · 发表于 2021-2-3 08:39

elim 发表于 2021-2-2 12:42
用楼上的猿声取代论证和计算，是jzkyllcjl 继续吃狗屎的表现．
实无穷跟完成没有关系，实数域的既存性和它 ...

无穷是无有穷尽的意思。无穷级数和是其前n想和的无穷数列的趋向性极限值。趋向不是到达。所以无尽循环小数0.999……趋向于1，但永远不等于1. 柏拉图与康托尔的“无穷集合是完成了的整体”的实无穷观点，早被亚里士多德被抛弃。
所以自然数集合与自然数平方的集合都是不可构成的想象性集合，它两元素个数都是非正常实数 ∞，应当根据不定式∞/∞的计算法则比较两个集合的元素多少；这时就消除了“部分等于整体”的谬论。

elim · 发表于 2021-2-3 08:55

极限论的标准分析数学基础与楼上的猿声有关吗, 吃狗屎的 jzkyllcjl?

jzkyllcjl · 发表于 2021-2-3 17:06

elim 发表于 2021-2-3 00:55
极限论的标准分析数学基础与楼上的猿声有关吗, 吃狗屎的 jzkyllcjl?

无穷是无有穷尽的意思; 无穷数列既有无限延续的发法则，又有永远延续不到底的性质。两个性质缺一不可，只看一面忽略另一面的做法行不通。任何无穷级数和是其前n想和的无穷数列的趋向性极限值。趋向不是到达。所以无尽循环小数0.999……趋向于1，但永远不等于1. 柏拉图与康托尔的“无穷集合是完成了的整体”的实无穷观点，早被亚里士多德被抛弃。
所以自然数集合与自然数平方的集合都是不可构成的想象性集合，它两元素个数都是非正常实数 ∞，应当根据不定式∞/∞的计算法则比较两个集合的元素多少；这时就消除了“部分等于整体”的谬论。

elim · 发表于 2021-2-3 22:12

上贴离题万里．jzkyllcjl 至今说不清极限与胡扯的区别．

用户名		自动登录	找回密码
密码			注册