勾股判断题

费尔马1

若a^2+b^2=c^2，a+b=10000，问a、b、c是否有正整数解？如果有正整数解，请写出；反之，说明理由？

yangchuanju

没有a+b=10000的勾股数。
基本勾股数中a+b必须是奇数，派生勾股数可以是该奇数的整数倍。
10000的奇数因子只有5,25,125,625四个数。
1. 当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1；
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1。
经检验a+b的和没有等于5,25,125,625的，也不会是其它偶数因子。

yangchuanju

有4组a+b=10001的勾股数：               
a        b        c
1197        8804        8885
1820        8181        8381
3836        6165        7261
4745        5256        7081

yangchuanju

100以内有52组勾股数：               
a        b        c
3        4        5
5        12        13
6        8        10
7        24        25
8        15        17
9        12        15
9        40        41
10        24        26
11        60        61
12        16        20
12        35        37
13        84        85
14        48        50
15        20        25
15        36        39
16        30        34
16        63        65
18        24        30
18        80        82
20        21        29
20        48        52
21        28        35
21        72        75
24        32        40
24        45        51
24        70        74
25        60        65
27        36        45
28        45        53
28        96        100
30        40        50
30        72        78
32        60        68
33        44        55
33        56        65
35        84        91
36        48        60
36        77        85
39        52        65
39        80        89
40        42        58
40        75        85
42        56        70
45        60        75
48        55        73
48        64        80
51        68        85
54        72        90
57        76        95
60        63        87
60        80        100
65        72        97

其中基本勾股数（本原勾股数）16组：               
a        b        c
3        4        5
5        12        13
7        24        25
8        15        17
9        40        41
11        60        61
12        35        37
13        84        85
16        63        65
20        21        29
28        45        53
33        56        65
36        77        85
39        80        89
48        55        73
65        72        97

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-2-13 20:40
没有a+b=10000的勾股数。
基本勾股数中a+b必须是奇数，派生勾股数可以是该奇数的整数倍。
10000的奇数因 ...

老师您好:
您说的有道理啊！其实a+b是奇素数或者是奇合数，当是奇合数的时候可以把它分解质因数，也就是把a+b的值全部以素数来计，这是a+b的原生值。当a+b是某个正整数的时候，设m=a+b，令m=n*t*k*u*v*……，为了简便分析，可以采用m=n*t*k*u，其中，n为2^s，t、k、u为素数。若t=a+b， k= a+b ，u=a+b，在这里a+b只是代表任意两条直角边，即这三个a+b的值是不一样的。据组合数，有，t，k，u；tk，tu，ku；tku。t对应一组勾股数，tk对应两组勾股数，tku对应四组勾股数(为什么是4组有待探讨)，其它类同。这样有三个有效的质因子，就一共有13组勾股数，他们分别乘以n^s即是最终结果。注m=a+b=10000(或者=10^s)只能分解质因数是2^4*5^4，因为5没有对应m=a+b，所以就没有派生勾股数。

费尔马1

这样的题若电脑的位数允许时，可以用程序计算，若数字过大，就采用分解质因数的方法，分若干步计算。总之，还是采用人工按照一定的方法计算为根本。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-2-14 09:29
有4组a+b=10001的勾股数：               
a        b        c
1197        8804        8885

您的解题是对的。学生的看法是，
10001=73*137
73对应一组，137对应一组，73*137对应二组，一共是四组勾股数。
规律，m=uv，u、v为素数，最多有四组。

ysr

当x+y=10001有3组解： /解/8181/1820/8381/解/6165/3836/7261/解/4745/5256/7081

ysr

有9组解： /解/0/10001/10001/解/1197/8804/8885/解/1820/8181/8381/解/3836/6165/7261/解/4745/5256/7081/解/5256/4745/7081/解/6165/3836/7261/解/8181/1820/8381/解/8804/1197/8885

ysr

有5组解： /解/0/10001/10001/解/1197/8804/8885/解/1820/8181/8381/解/3836/6165/7261/解/4745/5256/7081