证明 sin10° 是个无理数。

天山草@

证明 \( sin10° \) 是个无理数。

天山草@

题目来源： 据说上世纪七八十年代，莫斯科大学的数学系的入学考试【类似于中国的高考】针对犹太学生要专门做加试题。加试题共有21道，上面这个是第 11 题。

wangyangke

wangyangke

估计高考中不会要求解三次方程，这样看，应该有别的解法。

wintex

wangyangke 发表于 2021-2-16 02:43
估计高考中不会要求解三次方程，这样看，应该有别的解法。

sin10 = x

sin 30 = -4 x^3+ 3 x = 1/2

8x^3- 6x+1 =0

可能的有理根 ±1, ±1/2, ±1/4, ±1/8

代入 上式 全槓龜

因此 8x^3- 6x+1 =0 沒有有理根

也就是說 sin 10 不是有理數

liangchuxu

提供本人一种证明方法。

波斯猫猫

思路：令sin10 °= x（0＜x＜1），则由三倍角公式有8x^3- 6x+1 =0。

下面用反证法证明方程没8x^3- 6x+1 =0没有有理根。

假设其有理根为q/p＞0，其中p＞q，p与q互质，则8（q/p）^3- 6（q/p）+1 =0，

即8q^3- 6qp^2+p^3 =0。从而p为偶数，q为奇数。令p=2r，则8q^3- 24qr^2+8r^3 =0，

即q^3- 3qr^2+r^3 =0。从而q^3=r^2（3q-r）。若r＞1，则q中必含r的因子,这和p与q互质矛盾。

若r=1，则p=2。因p＞q，则q= 1。故，由q^3=r^2（3q-r）有，1^3=1^2（3x1-1），即1=2。矛盾。

即是说假设不成立，也就是原方程没有有理根。


注：楼上的方法用到了高代，这里用的是初等的方法。

luyuanhong

楼上 各位 的解答都很好！已收藏。