能否在直角坐标系中画一个正三角形，使其三个顶点的横坐标和纵坐标都是整数？

天山草@

能否在直角坐标系中画一个正三角形，使其三个顶点的横坐标和纵坐标都是整数？

天山草@

题目来源： 据说上世纪七八十年代，莫斯科大学的数学系的入学考试【类似于中国的高考】针对犹太学生要专门做加试题。加试题共有21道，上面这个是第 13 题。

黄绪励

将坐标平移，使原点和正三角形一顶点重合。那么，在新坐标系中，三顶点坐标也是整数。分别为O（0 0），A（x y），B（X   Y），坐标都是整数。设边长为r，OA与Ⅹ轴夾角为Θ，则
X＝rcos（60度十Θ）＝r（cos60度cosΘ－sin60度sinΘ）＝1／2*x一√3／2*y，

Y＝rsin（60度十Θ）＝r（sin60度cosΘ＋cos60度sinΘ）＝√3／2*x十1／2 *y，
x,y,X,Y都是整数，且 x,y不同时为0。上等式不能同时成立。（右式至少一个是无理数）。
题设正三角形不存在。

luyuanhong

天山草@

下面是原帖的解答，供参考。