数学中国

用户名  找回密码
 注册
帖子
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 13461|回复: 14

当 a,b,c>0 时,证明史上著名不等式 a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2

[复制链接]
发表于 2021-2-22 11:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
当 a, b, c > 0  时,证明著名不等式

ab+c+ab+c+ab+c32

本帖被以下淘专辑推荐:

 楼主| 发表于 2021-2-22 11:53 | 显示全部楼层
证明上述不等式有许多方法,下面提出一个引入中间不等式的方法,即:
如果 A≥B, 而 B≥C,那么就有 A≥C。
对于本题,就是要证明不等式链:
ab+c+ab+c+ab+c(a+b+c)22(ab+bc+ca)32
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-2-22 11:59 | 显示全部楼层

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-2-22 12:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2021-2-22 12:06 编辑

上面用到了一个基本不等式 a2+b2+c2ab+bc+ca ,它的证明很简单:

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-2-22 12:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2021-2-22 13:54 编辑

对于主帖中的那个不等式,还有哪些简明的证明方法,请各位发表出来共享。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-2-22 14:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2021-2-22 21:46 编辑

1905 年,一位名叫内斯比特的英国数学家提出了主帖中的那个不等式。
半个世纪后的 1954  年,数学家夏皮罗提出了这个不等式的一般形式,因此数学界把这个公式叫做内斯比特 - 夏皮罗 (NESBIT-SHAPIRO) 不等式。

经过许多数学家的研究,对于这个不等式的一般形式是否成立的问题,取得了圆满的成果。具体情况见本站内下面帖子:

《内斯比特 - 夏皮罗(NESBIT-SHAPIRO) 不等式简史》
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-2-22 16:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 kanyikan 于 2021-2-22 08:50 编辑

漂亮的不等式,这里给出了25种证法。
http://blog.sina.com.cn/s/blog_1467208510102x776.html

点评

这 25 个证明中,没有排序不等式方法的证明。下面补上。  发表于 2021-2-23 13:45
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-2-23 13:44 | 显示全部楼层
下面用排序不等式方法证明。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-2-23 15:44 | 显示全部楼层
我的证明

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x

点评

把左边减右边的差变换成几个非负代数式的和,是很有趣的方法!  发表于 2021-2-23 17:57
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-2-23 19:54 | 显示全部楼层
给出另类方法,凑热闹。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

LaTEX预览输入 教程 符号库 加行内标签 加行间标签 
对应的 LaTEX 效果:

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-18 13:23 , Processed in 0.095043 second(s), 19 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\square_{\baguet}^{\baguet}\overarc{\square}\ \dot{\baguet}\left(\square\right)\binom{\square}{\square}\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\ \begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\to\Rightarrow\mapsto\alpha\ \theta\ \pi\times\div\pm\because\angle\ \infty
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
\underline{\square}\overline{\square}\overrightarrow{\square}\overleftarrow{\square}\overleftrightarrow{\square}\underrightarrow{\square}\underleftarrow{\square}\underleftrightarrow{\square}\dot{\baguet}\hat{\baguet}\vec{\baguet}\tilde{\baguet}
\left(\square\right)\left[\square\right]\left\{\square\right\}\left|\square\right|\left\langle\square\right\rangle\left\lVert\square\right\rVert\left\lfloor\square\right\rfloor\left\lceil\square\right\rceil\binom{\square}{\square}\boxed{\square}
\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\begin{matrix}\square&\square\\\square&\square\end{matrix}\begin{pmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{pmatrix}\begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Bmatrix}\begin{vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{vmatrix}\begin{Vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Vmatrix}\begin{array}{l|l}\square&\square\\\hline\square&\square\end{array}
\to\gets\leftrightarrow\nearrow\searrow\downarrow\uparrow\updownarrow\swarrow\nwarrow\Leftarrow\Rightarrow\Leftrightarrow\rightharpoonup\rightharpoondown\impliedby\implies\Longleftrightarrow\leftharpoonup\leftharpoondown\longleftarrow\longrightarrow\longleftrightarrow\Uparrow\Downarrow\Updownarrow\hookleftarrow\hookrightarrow\mapsto
\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\varkappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\pi\Pi\varpi\rho\varrho\sigma\Sigma\tau\upsilon\Upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\digamma\vartheta\varsigma\mathbb{C}\mathbb{H}\mathbb{N}\mathbb{P}\mathbb{Q}\mathbb{R}\mathbb{Z}\Re\Im\aleph\partial\nabla
\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

MathQuill输入:

Latex代码输入: