用微信与四色爱好者谈四色问题

雷明85639720

用微信与四色爱好者谈四色问题
雷  明
（二○二一年二月二十四日）

我的观点是，颜色冲突的构形中，有经过了关键顶点的环形链时用断链法解决，否则就用转型方解决，非常简单。但这一点，张先生非得要坚持他的十折对称与非十折对称不可。关键是他这个十折对称没有明显的标志，且解决的办法——Z—换色程序又在不同的构形中可以混用；而我的有、无环形链一看就可以看出来，且解决的办法也是一一对应的。可就是这一点统一不了。没办法，就这样各持已见吧！
敢峰先生构造的终极图（E图）只能用断链法解决，因为A—B环把双环交叉链A—C和A—D两链的末端顶点与其他的C，D顶点分隔在了环的两侧。但不能用转型交换法，若要用，就产生了无穷的循环转型，永远也解决不了问题。我所构造的图由于是不含环形链的构形，所以也不能用断链法解决问题，若要用，也将会产生无穷循环的断链，问题也永远不能得到解决。因而只能用转型法解决问题。逆转型0次，即不转型就是一个可以连续的移去两个同色的构形；顺转型四次也是一个可以连续的移去两个同色的构形，且每次转型的结果都有经过了关链顶点的环形链，都可以改用断链法解决问题。
敢峰先生认为他构造了终极图就可以代替证明，这是不行的。终极图中本身就有经过了双环交叉链A—C和A—D的共同起始顶点A和交叉顶点A的环形链，以后每次转型交换都得到的分别是两种环形链交替变化的构形，且都可以用断链交换法解决问题。但他转型的结果却得不到无经过关键顶点的环形链的构形，这部分构形的可约性还是没有得到解决。所以他用终极图的解决来说明四色猜测就被证明是正确的，还是不完全的。
我构造的图交换C—D环内的A—B链，永远是BAB型的构型，只是所交换了的两个顶点的颜色有了变化；若交换C—D环外的A—B链，则成为ABA型构形，以后再交换，总在BAB型与ABA型两种类型之间无穷的转化着，永不得解。
张先生朋友，从你给放峰先生的回复看，你仍是把染色困局构形分为两类，一类是E族构形，因其H—换色时是无限循环的，不可能得解，才使用Z—换色程序的。一类是非E族构形，仍用H—换色程序解决，并都能经过有限次H—换色解决问题。我认为没有H—换色次数的上界，仍是不能说就是有限次的。我们只看到了要H—换色26次的染色困局，还有没有更大的，能大多少，天知道。特别是有没有无限不循环的染色困局构形呢？不证明是不行的。你的需要颠倒染色20次以上的染色困局构形，的确是在颠倒20次时，没有返回到原色图的。你可以再次验证一下。应该说这几个构形都不是以20次颠倒为一次大循环的无限循环构形。那么请问，有没有无限不循环的染色困局构形呢？这不证明也不行吧？我已证明在E族构形外，已不再存在无限H—换色的构形了。但证明是否正确又是另一回事，可以再商量。但证明与不证明又是另一回事。既然再也没有无穷H—换色的构形了，那么这类非E族构形的构形就必须在第二个小循环周期形成之前的第7次H—换色时，就转化成可以移去两个同色的可约构形，或转化成有环形链的可约构形，可改用Z一换色程序，都是再经过两次交换就可空出颜色。最大也要在第一个大循环周期形成之前的第19次H—换色时也要转化成以上两种可约构形。最大的H—换色次数是7或19，最大的交换次数是9或21。但这又与需要颠倒次数在20次以上的非E族构形的颠倒次数发生了予盾。如果把染色困局构形按我的分法，分为两类，根本就不会出现这些麻烦！
张先生，色图还原在4次H—换色时是绝对做不到的，就连E图也是在20次H—换色时才达到的。这样，H—换色20次色图还原者，就是E族构形，改用Z—换色程序就可结束H—换色。否则就是非E族构形，一直用H—换色下去，就可以转化成可以连续的移去两个同色的构形，或转化成有环形链的构形，二者都是可的的。从这个角度上讲，H—换色次数的上界也是需要证明的。这时可否认为其上界是第二个大循环周期形成之前的第39次H—换色呢？这个分折如果正确，那么，我们找到的需要H—换色次数大于20次的染色困局构形的H—换色次数，以及Z—构形的H—换色次数，也就都附合这个最大界限的要求了。这样就无理由再质问还有没有H—换色次数更大的染色困局构形了。我认为这样的结局最好，我两人虽然分类方法不同，但都证明了任何染色困局构形都是可约的，四色猜则也证明是正确的。这是最好的结局。别人从中就不可能再提出质疑了。你看是否合适，请提出意见。
张先生，只要不出现以20次H—换色为循环周期的大循环，小循环也是不会无限循环的。所以我确定H—换色的最大次数的上界是39次H—换色。也可能没有具体图在H—换色时能达到这样的程度，但这个上界还是得要存在的。根据上一贴，我还得对我的证明最大转型次数的证明部分及结论再修改一下。
这样，最大H换色次数的上界就是39次，既适合用我的分类办法分出的无经过关键顶点的环形链的构形的H换色，也适合用张先生的分类办法分出的非E图构形的H—换色。使得两种分类方法在使用H—换色程序时，H—换色的次数都有了同个上界，而不再对别人造成在着色时，心里不踏实的精况。知道一定是会在H—换色39次之内解决向题的。
E族构形既是以每4次转型为周期的无穷小循环转型的构形，也是以每20次转型为周期的无穷大循环转型的构形。仅管转型空不出颜色，但构形中却有经过了关键顶点的环形链，可以用断链交换法解决问题。而无经过关键顶点的环形链的非E族构型，因无环形链而不可能象E族构形那样，产生无穷转型的循环现象，只要不是大循环的无穷循环，则小循环即就是进行循环，也只能是有限次的。那么这个有限次的小循环最大的转形次数是多少呢？
既然是不产生无穷大循环的构形，就不会有第二个大周期的形成，与第一个大周期形成时色图是否还原是没有关系的。这就是说转形一定要第39次之前，包括第39次结束，构形转化成为可以连续的移去两个同色的构形，或者是转化成有经过了关键顶点的环形链的构形。这两种构形都是可约的，再进行两次交换即可空出一种颜色给待着色顶点。而有经过了关键顶点的环形链的非E族构形，可以视为转型0次就转化成了有经过了关键顶点的环形链的构形，直接就是可约构形。这样，既包括了按雷明的分类方法分出的用连续转型法解决的构形的转型次数，也包括了按张先生的分类方法分出的用连续转型法解决的构形的转形次数。既不影响两种分类方法，又能达到两种观点统一的效果。实在是妙！
根据张彧典先生多年的数学教学经验，得出原命题为真，逆命题也为真时，逆命题为真就是原命题成立（也为真）的充要务件。我们进行如下的证明：
A：X类构形的转型次数小于等于39次时
B：X类构形就会转化成Y构形
则原命题是由A得到B
逆命题应是由B得到A
证明：因为有E族构形是以每20次转型为周期的无穷大循环转型的构形，而B则是已转化成Y的X类构型，这类构型的转型次数一定是有限的，有限而不产生无穷大循环的最大转型次数必须小于E族构形无穷大循环的第二个周期形成时的转型次数39次，这就得到了A，这就是说由B可以得到A，逆命题成立（为真），因为逆命题为真是原命题成立（也为真）的充要条件，所以原命题由A到B也是成立的，是真的。
即有X类构形转型次数在小于等于39次之内，一定可以转化成可以连续的移去两个同色的构型，或者转化成含有经过了关键顶点的环形链的构型，即Y类构形，这两个构形都是可约的，所以无经过关键顶点的环形链的构型也都是可约的。
现在再上用原命题与逆否命题同真同假的关系进行证明如下:
—A：转型次数大于39次的X类的非无经过关键顶点的环形链的构形
—B：不能通过转型转化成Y类构形
逆否命题：由—B到—A
证明：不能通过转型转化成Y类构形的构形，的确是存在的，如E族构型，而该类构形的转型的确也是无穷循环的，是绝对大于39次的。这就由B得到了A，逆否命题成立，原命题也成立。
两种证都说明了不含有经过关键顶点的环形链的构形，都可以在39次转型之内，转化成可以连续的移去两个同色的可约构形，或转化成含有经过了关键顶点的环形链的可约构形的结论是对的。
这一结论对非E族构形的所有非十折对称的Z—够形也是适用的。虽然有些Z—构形中是含有上述的环形链的，直接就是可约的，但可以认为是进行了0次转型的结果，0也是小于39的。
这样的结论太妙了，同时适用于两种不同的分类方法。当然有环形链的Z—构形继续进行转型，也可以在39次转型之内解决问题！
张先生把构形分为E族（十折对称）构形和非E族（Z—族）构形。E族构形中有环形链，用Z—换色程序解决，非E族构形用H—换色程序解决。非E族中又有两种构形，一是有环形链的构形，二是无环形链的构形，有环形链的构形也可用Z—换色程序解决。但没有证明H—换色程序的最大换色次数。并认为不需要证明，只要知道是有限次换色即可。
而雷明把构形分为有环形链的构形与无环形链的构形。有环形链者用断链交换法解决，无环形链者用转型文换法解决。张先生的E族构形有环形键，也用断链交换法解决。雷明认为无环形链的构形用转型交换的最大次数虽然也是有限的，但必须是要证明其上界值的，并且必须进行证明。认为无上界值时，是不能证明四色猜测是正否是正确的。他证明的结果是，最大转型次数是39次。这个上界值含盖了我们已经知道的用转型法解决时，所有转型的次数的构形。包括张先生非E族构形中含有环形链的构形用转型交换的次数的构形。张先生的含有环形链的非E族构形，也可作为无环形链的构形的特殊情况用断链交技法处理。
雷明的分类法中，有环形链的构形类中包含了张先生的E族构形。无环形链的构形中只包含了张先生的非E族构形中的无环形链的部分。而张先生的分类法中，E族构型只是雷明分类中有环形链的构形中的一部分，非E族构形中却包括了雷明分类中无环形链的构形的全部。雷明分类中有环形链的构形中的非E族构形部分，以及张先生分类中的非E族构形中的有环形链的构形，二者是同一类构形。两个分类方法中都包括了构形的各种类型，也都是完备的不可避免的颜色冲突（染色困局）构型。雷明用断链法和转型法可以解决这些不可避免构形的可约性问题，张先生用Z—换色程序和H—换色程序也能解决这些不可避免构形的可约性问题。两人的方法都是正确的，也都能证明四色猜测是正确的。
张先生的Z—换色程序就是雷明的断链交换法，张先生的H—换色程序也与雷明的转型交换法是同一回事。若把构形分为三大类：一类是只能使用断链交换或Z—换色程序解决的构形，三类是只能使用转型交换或H—换色程序解决的构形，二类则是既可使用断链交换法或Z—换色程序解决，又可使用转型交换法或H—换色程序解决的构型。一类和二类的主要标志（特征）是含有经过了关键顶点的环形链，三类则没有这样的环形链，所以雷明把构形分成了两类，有环形链者用断链交换法解决，无环形链者用转形交换法解决，容易辨别，也容易操作。而张先生把构形分为E族类（十折对称）和Z族类（非十折对称）两类，但十折对称与非十折对称却没有明显的特征进行区别，按张先生所说至少都还要进行4次H—换色才能区别是E族还是Z族（我认为至少要20次H—换色才能区别），这不太麻烦吗？所以我认为把构形还是分为有环形链的与无环行链的两类为好，容易区别辨认，也容易操作。我这并不是强加于人，十在是你那个十折对称十在是无法理解的。图是属于拓扑学范畴，哪讲什么对称不对称呢？只要顶点间的相邻关系未变，爱怎么画就怎么画，同一个图可能画成对称的，也可能画成不对称的，你能因两图画法不同就说是两个不同的构到吗？
老张把染色困局构形分成了两类，一类是E族构形，另一类是非E族构形。他的15个Z构形只能是非E族构形中的一部分，而不能代表全部。因为他的15个Z构形只是来自于对E族四姐妹中的四色顶点四边形的对角线的改变，而不是来自已对所有的E族构形中的四色顶点四边形对角线的改变，E族构形中还有别的构形。如张先生对E图构形放大构造的几个E族构形等，这是原因之一；原因之二是E图四姐妹中，按张先生所说有64个四色四边形，应对应有64个非E族构形，但他只是从中拿出了15个，而不是全部。虽然这15个Z构形的结构、构造、染色、最大换色次数等，有一定的规律和对称性，但不是所有的非E族构形都有这些性质，况且这15个构形的最大换色次数是不大于16的，但先生却已构造了换色次数大于20的多个构形，所以说这15个Z构形不是也不能代表所有的非E族构形。最合适的表述法就应是非E族构形，因为他的E族构形与非E族构形间没有明显的区别特点，不象我把颜色冲突构形分为有环形链的构形与无环形链的构形，图中的区别非常明显。这也就是我两的主要分岐所在。
张先生书中的所有图都是有双环交叉链的H—构形，但只有第二构形和第九构形及其放大图三个图是不能连续的移去两个同色B的真正的H构形，其他的图都是可以在续的移去两个同色B的构形，你可以试一试看。
我已有过猜想，是否无环形链的构形可直接转化成有环形链的构形，如果真正可以，并已证明任何无环形链的构形都可这样做，那么四色猜则的证明方法也就更有底气了，着色的方法就更简便了。
现在只能说自已认为自已证明了四色猜测是正确的，至于证明本身是否正确，那并不是自已说了算的，还必须要专家们的认可才可以。现在只有等待吧！光有千里马还不行，还必须要有伯乐！四色问题方面的伯乐你在哪里？
张先生朋友，你又在硬把你的15个Z—构形与敢峰的15个可约构形往一起凑了。你看一看其解决的方法，即交换（颠倒）的次数是否相同呢？你的15个Z构形从Z1到Z15，交换的次数分别是2到16，即转型的次数分别是0到14，各再进行两次移去两个同色的交换，总交换次数即为2到16。所谓0转型即是不进行转型时，构型就是一个可以连续的移去两个同色的构形。你再看看敢峰的1步到15步的图，全部都是0转型时，就是一个可以连续的移去两个同色的可约构形，全都可以两次交换即可解决问题的构形。这怎么能说你的Z1到Z15与它们之间有一一对应的关系呢？正是因为敢峰的每一步图都是可以移去两个同色的可约构形，所以才在下一步时人为的构造另一条连通链，使构形成为另一种类型的双环交叉链的构形的。比如通过转型把BAB型的转化为CDC型或DCD型等。请问，你明白不明白敢峰先生转型演绎的原理呢？
你的15个Z构形，是针对所有非E族构型而说的，其最大颠倒次数只是16，而你把你构造的颠倒次数达20次以上的非E族构形，又该归入那一种Z构形呢？
你还应该讲清楚，那几个颠倒次数大于20的构形，为什么又可以使用Z—换色程序的原因。它们既然不是E族构形，当然就是非十折对称的，E族构型用Z换色程序，它们为什么也能使用Z—换色程序呢？
你认为改变了四色顶点四边形的对角线后，图的几何结构改变了，但色图不变，这种说法是不对的。图的几何结构改变了，说明图就成了另外的图了，当然也就不是原来的色图了。原来色图中是A和B相邻，C和D不相邻，现在成了C和D相邻，而A和B不相邻了。怎么能说色图未变呢？正确的说法应是图的几何结构改变了，色图也就跟着改变了，图的几何结构不变时，色图才会随着顶点颜色的交换而改变。 你用这个图的几何结构发生了改变而色图未变是想说明什么问题呢？
构形的分类，类名的叫法，不光是为了证明，而且也要为以后在着色过程中遇到染色因局时，能够迅速的判断其类型，再用相应的办法去解决服务。你现在的分类，名称的叫法根本不可能对具体着色遇到染色困局时如何判断有任何的作用，这样的分类还有什么作用呢？
你按颠倒次数的多少，把非E族类构形分成了15种，颠倒次数分别从2到16次。这样看来，你的第八构形（颠倒9次）就应当和Z8构形（也是颠倒9次）是同一种构形了。但这两个构形决没有相似之处，第八构形顶点特多，没有经过关键顶点的环形链，而Z8构形顶点特少，但又有经过了关键顶点的环形链，这又怎么能是同一种构形呢？同样的，第七构形与Z7，第六构形与Z6，也都表现出了这样的问题。这不暴露出你的分类方法的弱点了吗？你提出遇到困局构形先进行4次H—换色才能决定是E族构形还是非E族构形，这不更麻烦吗？为什么H—换色4次就可以判断，原理是什么，你讲清了没有呢？
老张朋友，既然非E族构形都不可能使H—换色产生循环，颠倒的次数一定是有限的，那就去颠倒就行了，还分什么15种Z—构形，16次颠倒干什么呢?只进行题倒就行了，管它十次八次，一百一万，甚至一亿，总是可以空出颜色的。干嘛要按颠倒的次数进行分不同的种类呢？我想关键的问题，还是你一开始就判断不出该构形是E族，还是非E族！你的E族（十折对程）构形和非E族（非十折对称）构形的区别在什么地方呢？如何去辨别呢？辨别不了如何对其进行着色呢？
非E族构形就是非E族构形，不要再按颠倒次数再分亚类了，反正在颠倒前是不会知道需要颠倒多少次的，只是到最后才能知道，但这时就是知道了颠倒次数，也是没有用处了，知道不如道都无所谓，所以建议你去掉15个Z构形亚类可能还要好一些。
雷明，张彧典和敢峰三人都对发生颜色冲突（染色困局）的构形进行了研究，雷、张二人都把这类构形分为两类。雷把这类构形分为有经过了关键顶点的环形链一类和无经过关键顶点的环形链一类。前者用断链交换法解决，后者用有限次的连续转型交换法解决，并给出最大转型次数的上界。张把这类构形也分为两类，一类是E族构形类，一类是非E族构形类。前者用Z—换色程序解决，后者用有限次的H—换色程序解决，但没有给出最大换色次数的上界。雷明的断链交换法也能解决张先生的非E族构形中的有环形链者，而张先生的Z—换色程序也能解决雷明的有环形链的构形。张先生的Z—换色程序实质上与雷明的断链交换法是同一回事，只是叫法不同。雷明给出有转形交换的最大次数，张先生的H—换色程序却没有给出最大换色次数，并且张也认为不需要给出。敢峰只给出了一个终极图，因为终极图中含有环形链，所以他在解决终极图时也用的是与断链交换法（Z—换色程序）相同的方法。这种方法可用于解决雷明的有环形链的构形和解决张先生的E族构型以及解决张先生的非E构形中的有环形链的构形，但不能解决雷明无环形链的构形，也不能解决张先生非E族构形中的无环形链的构形。所以说敢峰先生的研究还缺少解决无环形链的构形的方法。敢峰解决终极图的方法就是雷明的断链交换法，也是张先生的Z—换色程序。
最大H—换色次数的上界应该这样来证明。先用原命题与其逆否命题同真同假以及逆命题为真是是原命题为真的充要条件来证明非E族构形施行有限次H—换色程序可以转化成可以连续的移去两个同色的可约构形或转化成有经过了关键顶点的环形链的可约构形是真命题，然后再证明换色次数的上界。由于已经证明了换色次数是有限次的，所以无论是大循环还是小循环，都一定不是无限循环的。构形峰点位置的小循环是一定会有的，但不会是无穷循环的。色图的大循环有可能出现，也可能不会出现，但都不会是无穷的。比如我们构造的颠倒次数大于20的构形，在第20次换色后色图就没有反回，这就不可能形成循环，但却又不是无穷的。假如能形成循环的话，也只有在第2个大循环产生后才能知道。但我们已经知道这类构形是不会形成循环的，所以一定会在第39次换色前结束换色，转化为可约构形。这就证明了这类构形换色次数的上界是39次。
上述这样的证明好象也不太合适，因为不能否定不可能出现大循环的可能，不出现大循环，就成了无穷的小循环，对于大循环来说则是一个无穷不循环的换色过程，最终仍不能解决问题。但如果把非E构形中的有环形链的构形去掉，对其用Z—换色程序解决，剩下的无环形链的非E族构形用H—换色程序解决，则是可以证明其最大换色次数的上界的。由于这类构形的换色次数是不会出现以20次换色为周期的大循环现象的，所以换色必须要在E族构形第二个大循环周期形成前结束换色，即最大换色次数的上界就是7次。这可能才是真正的反映了事物的本质。不把有环形链的构形从非E族构形中去掉，用Z—换色程序解决，而仍用H—换色程序解决，就不可能证明得到最大换色次数的准确上界值，而只能得到换色次数是有限的粗略结果。只有单对无环形链的非E族构形使用H—换色程序时，才可以得到最大换色次数的准确上界值。这可能就是客观事物的现实，是不可违抗的。的确，我们构造的换色次数大于20次的构型在第20次换色时并没有出现色图还原的现象，它们与Z11到Z15都有经过了关键顶点的环形链，都是可以用Z—换色程序解决的，比用H—换色程序更简便，更快。的确从Z1到Z5和从Z11到Z15中都没有环形链，用H—换色程序在7次换色之内是可以解决问题的。客观事物就是这样，也得按客观事物的规律去解决问题，否则就会出错，走弯路，也不会得到符合客观事物的正确结论。
（未完接下一贴）